【導讀】DPD是數字預失真的首字母縮寫(xiě)，許多射頻(RF)工程師、信號處理愛(ài)好者和嵌入式軟件開(kāi)發(fā)人員都熟悉這一術(shù)語(yǔ)。DPD在蜂窩通信系統中隨處可見(jiàn)，使功率放大器(PA)能夠有效地為天線(xiàn)提供最大功率。隨著(zhù)5G使基站中的天線(xiàn)數量增加，頻譜變得更加擁擠，DPD開(kāi)始成為一項關(guān)鍵技術(shù)，支持開(kāi)發(fā)經(jīng)濟高效且符合規格要求的蜂窩系統。
對于DPD，無(wú)論從純粹的數學(xué)角度出發(fā)，還是在微處理器上實(shí)現更受限制，我們許多人都有自己獨特的見(jiàn)解。您可能是負責評估RF基站產(chǎn)品中DPD性能的工程師，或者是一名算法開(kāi)發(fā)人員，很想知道數學(xué)建模技術(shù)在實(shí)際系統中的實(shí)現方式。本文旨在拓寬您的知識面，幫助您從各個(gè)角度全面了解這個(gè)主題。
什么是DPD？為什么要使用DPD？
當基站射頻裝置輸出RF信號時(shí)（參見(jiàn)圖1），需要先將其放大，然后再通過(guò)天線(xiàn)發(fā)射。我們使用RF PA來(lái)執行此操作（放大）。在理想情況下，PA接收輸入信號，然后輸出與其輸入成正比的更高功率信號。在執行此操作期間，PA會(huì )盡可能保持高能效，將提供給放大器的大部分直流電源都轉化為信號輸出功率。
圖1.采用和未采用DPD技術(shù)的簡(jiǎn)化射頻結構框圖
但這不是一個(gè)理想的世界。PA由晶體管構成，晶體管是有源器件，本身具有非線(xiàn)性。如圖2所示，如果我們在其“線(xiàn)性”區域使用PA（這里的線(xiàn)性是相對而言；所以加了引號），則輸出功率與輸入功率相對成比例。此方法的缺點(diǎn)是PA的使用效率通常很低，提供的大部分功率都會(huì )作為熱量流失。我們通常希望在PA開(kāi)始壓縮時(shí)使用。這意味著(zhù)，如果輸入信號增加了設定量（例如3 dB），PA輸出不會(huì )增加同樣的量（可能只增加1 dB）。很顯然，此時(shí)放大器使信號嚴重失真。
圖2.PA輸入功率與輸出功率之間的關(guān)系圖（顯示了樣本輸入/輸出信號的投影）
這種失真發(fā)生在頻域中的已知位置，具體取決于輸入信號。圖3顯示了這些位置，以及基頻與這些失真產(chǎn)物之間的關(guān)系。在RF系統中，我們只需要對基波信號附近的失真進(jìn)行補償，這些信號是奇階交調產(chǎn)物。系統濾波處理帶外產(chǎn)物（諧波和偶階交調產(chǎn)物）。圖4顯示RF PA的壓縮點(diǎn)附近的輸出。交調產(chǎn)物（特別是三階）清晰可見(jiàn)，就像是圍繞著(zhù)目標信號的“裙擺”。
圖3.雙音輸入交調和諧波失真的位置
圖4.2× 20 Mhz載波通過(guò)SKY66391-12 RF PA，中心頻率 = 1850 MHz
DPD旨在通過(guò)觀(guān)察PA輸出來(lái)表征這種失真，要了解所需輸出信號，隨之更改輸入信號，使得PA輸出接近理想值。只有在相當具體的情況下才能有效地實(shí)現這一目標，我們需要配置放大器和輸入信號，使放大器有一定程度的壓縮但未完全飽和。
PA失真建模背后的數學(xué)計算
Volterra級數是DPD的重要數學(xué)基礎，它用于建立具有記憶的非線(xiàn)性系統模型。記憶僅僅意味著(zhù)系統的當前輸出取決于當前和過(guò)去的輸入。Volterra級數很常用（所以功能強大），在電氣工程以外的許多領(lǐng)域都有使用。對于PA DPD，Volterra級數可以精簡(jiǎn)使用，使其在實(shí)時(shí)數字系統中更易實(shí)現，也更穩定。GMP就是這樣一種精簡(jiǎn)方法。
圖5顯示如何使用GMP對PA的輸入x和輸出y之間的關(guān)系進(jìn)行建模?？梢钥吹?，該等式的三個(gè)單獨的求和塊彼此都非常相似。我們先來(lái)看看下方用紅色圈出來(lái)的第一個(gè)。|x(…)|k項是指輸入信號的包絡(luò )，其中k是多項式階。l將記憶集成到系統中。如果La = {0,1,2}，那么該模型允許輸出yGMP (n)由當前的輸入x(n)和過(guò)去輸入x(n – 1)和x(n – 2)決定。圖6分析多項式階k對樣本向量的影響。向量x是單個(gè)20 MHz載波，在復基帶上表示出來(lái)。去除記憶部分，以簡(jiǎn)化GMP建模等式。x|x|k圖顯示的失真與圖4中的實(shí)際失真非常相似。
每個(gè)多項式階(k)和記憶延遲(l)都有相關(guān)的復值權重(akl)。在選擇模型的復雜程度之后（其中包括k和l的值），需要根據已知輸入信號的PA輸出實(shí)際觀(guān)測值來(lái)求解這些權重。圖7將簡(jiǎn)化的等式轉換為矩陣形式?？梢允褂脭祵W(xué)符號簡(jiǎn)明表示該模型。但是，要在數字數據緩沖區實(shí)現DPD，用矩陣表示法會(huì )更簡(jiǎn)單，也更具代表性。
我們來(lái)看看圖6中等式的第二行和第三行，為了簡(jiǎn)化，這兩行被忽略了。注意，如果m設置為0，那么這兩行會(huì )變得與第一行一模一樣。這些行允許在包絡(luò )項和復基帶信號之間增加延遲（正延遲和負延遲）。這些稱(chēng)為滯后交叉和超前交叉項，可以顯著(zhù)提高DPD的建模精度。在我們嘗試對放大器的行為建模時(shí)，這些項提供了額外的自由度。注意，Mb、Mc、Kb和Kc不包含0；否則，會(huì )重復第一行的項。
圖5.用于PA失真建模的GMP
圖6.在信號x的頻域中，階(k)對信號的影響曲線(xiàn)圖
圖7.將簡(jiǎn)化的等式轉換為數據緩沖區的矩陣運算（更接近于數字實(shí)現方式）
那么，我們如何確定模型的階、記憶項的數量，以及應該添加哪些交叉項？此時(shí)，就需要一定數量的“黑魔法”了。我們掌握的關(guān)于失真的物理學(xué)知識能夠提供一定幫助。放大器的類(lèi)型、制造材料，以及通過(guò)放大器的信號帶寬都會(huì )影響建模項，可以幫助熟悉該領(lǐng)域的工程師確定應該使用哪個(gè)模型。但是，除此之外，還涉及一定程度的反復試驗。
現在有了模型架構，我們從數學(xué)角度來(lái)解決該問(wèn)題的最后一個(gè)方面是如何求解權重系數。在實(shí)際場(chǎng)景中，人們傾向于求解上述模型的倒數。事實(shí)證明，這些模型系數能夠彼此互惠，可以使用相同的權重對捕捉到的PA輸出向量進(jìn)行后失真，以消除非線(xiàn)性，并對通過(guò)PA發(fā)送的發(fā)射信號預失真，使得PA輸出盡可能呈現線(xiàn)性。在圖8所示的框圖中，顯示了如何對權重系數進(jìn)行估算和預失真。
圖8.建模和預失真間接實(shí)現框圖
在逆模型中，將圖7給出的矩陣等式互換，給出X? = Yw。其中，矩陣Y的構成方式與其他示例中X的構成方式相同，如圖9所示。在本例中，包含了一個(gè)記憶項，且減少了包含的多項式的階數。為了求解w，我們需要得出Y的倒數。Y不是方形的（是一個(gè)瘦長(cháng)矩陣），所以需要使用“偽逆”矩陣進(jìn)行求解（參見(jiàn)等式1）。這是從最小二乘意義上求解w，也就是說(shuō)，最小化了X?和Yw之間的差的平方，正合我們的心意！
鑒于是在具有不同信號的真實(shí)環(huán)境中使用，我們可以對其進(jìn)一步優(yōu)化。在這里，系數是基于之前的值進(jìn)行更新，因此受到限制。μ是0和1之間的常數值，用于控制每次迭代時(shí)權重的變化量。如果μ = 1，w0 = 0，那么此等式立即恢復到基本最小二乘解。如果將μ設為小于1的值，則需要多次迭代才能使系數收斂。
注意，這里描述的建模和估算技術(shù)并非是執行DPD的唯一方式。也可以使用其他技術(shù)，例如基于動(dòng)態(tài)偏差減少的建模來(lái)代替或作為附加方法使用。
如何在微處理器中實(shí)現這一技術(shù)？
通常而言，它在數字基帶中實(shí)現，一般在微處理器或FPGA中實(shí)現。ADI的RadioVerse收發(fā)器產(chǎn)品（例如ADRV902x系列）內置微處理器內核，其結構有助于輕松實(shí)現DPD。
圖9.以矩陣形式表示的逆算法等式。有些記憶包含在其中
圖10.具有一次記憶選擇和一個(gè)三階交叉項元素的三階預失真計算案例
在嵌入式軟件中實(shí)現DPD涉及兩個(gè)方面。一是DPD執行器，對實(shí)時(shí)發(fā)送的數據執行實(shí)時(shí)預失真，二是DPD自適應引擎，基于觀(guān)察到的PA輸出來(lái)更新DPD系數。
對于如何在微處理器或類(lèi)似器件中實(shí)時(shí)執行DPD和許多其他信號處理概念，關(guān)鍵在于使用查找表(LUT)。LUT允許用更簡(jiǎn)單的矩陣索引操作來(lái)代替成本高昂的運行時(shí)計算。我們來(lái)看看DPD執行器如何對發(fā)送的數據樣本應用預失真。代表符號如圖8所示，其中u(n)表示要傳輸的新數據樣本，x(n)表示預失真版本。圖10顯示在給定場(chǎng)景下，獲取一個(gè)預失真樣本所需的計算。這是一個(gè)相對受限的示例，最高多項式階為三階，只有一次記憶選取和一個(gè)交叉項。即使在這種情況下，要獲取這樣一個(gè)數據樣本，也需要進(jìn)行大量乘法、冪運算和加法運算。
在這種情況下，使用LUT可以減輕實(shí)時(shí)計算負擔?？梢詫D10所示的等式改寫(xiě)成圖11所示的樣式，其中輸入LUT的數據會(huì )變得更加明顯。每個(gè)LUT都包含等式中突出顯示項的結果值，它們對應|u(n)|的多個(gè)可能值。分辨率取決于在可用硬件中實(shí)現的LUT大小。當前輸入樣本的幅度大小基于LUT的分辨率進(jìn)行量化，可以作為索引，用于訪(fǎng)問(wèn)給定輸入的正確LUT元素。
圖11.對等式項重新分組，以顯示LUT的結構
圖12顯示如何將LUT集成到我們示例案例的完全預失真執行器實(shí)現方案。注意，這只是其中一種可能的實(shí)現方法。在仍然保持相同輸出的情況下，可以做出更改，例如：可以將延遲元素z–1移動(dòng)到LUT2右側。
圖12.使用LUT可能實(shí)現DPD的框圖
自適應引擎負責求解用于計算執行器中的LUT值的系數。這涉及到求解等式1和2中描述的w向量。偽逆矩陣運算(YH Y)-1 YH會(huì )耗費大量計算資源。等式1可以改寫(xiě)為
如果CYY = YHY，CYx = YH x，等式3會(huì )變成
CYY是矩形矩陣，可以通過(guò)柯列斯基分解方法分解為上三角矩陣L和共軛轉置矩陣(CYY =LH L)的乘積。這樣我們可以通過(guò)引入一個(gè)虛擬變量z來(lái)求解w，求解方法如下：
然后，重新代入這個(gè)虛擬變量，求解
因為L(cháng)和LH分別是上、下三角矩陣，所以花費很少的計算資源，就可以求解等式5和等式6，得出w。自適應引擎每次運行，得出w的新值時(shí)，都需要更新執行器LUT來(lái)體現這一點(diǎn)。根據觀(guān)察到的PA輸出，或者操作員掌握的待傳輸信號的變化情況，自適應引擎可以按照設定的定期間隔或不規則的間隔執行操作。
在嵌入式系統中實(shí)現DPD需要進(jìn)行大量檢查和平衡，以確保系統的穩定性。最重要的是，發(fā)送數據緩沖器和捕捉緩沖器數據的時(shí)間要一致，以確保它們之間建立的數學(xué)關(guān)系是正確的，且在長(cháng)時(shí)間之后仍然保持正確。如果這種一致性喪失，那么自適應引擎返回的系數將不能對系統執行正確的預失真，可能導致系統不穩定。還應檢查預失真執行器輸出，確保信號不會(huì )使DAC飽和。
結論
本文從基礎數學(xué)的角度研究DPD及其在硬件中的實(shí)現方法，希望借此揭示關(guān)于DPD的一些奧秘。本文對該主題的探討只是冰山一角，可能有助于推動(dòng)讀者進(jìn)一步研究通信系統中信號處理技術(shù)的應用情況。ADI的RadioVerse收發(fā)器產(chǎn)品可以集成DPD這類(lèi)算法，為客戶(hù)提供高度集成的RF硬件和可配置的軟件工具。
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