【導讀】我保證這篇文章和你以前看過(guò)的所有文章都不同，這是 2012 年還在果殼的時(shí)候寫(xiě)的，但是當時(shí)沒(méi)有來(lái)得及寫(xiě)完就出國了……于是拖了兩年，嗯，我是拖延癥患者……這篇文章的核心思想就是：要讓讀者在不看任何數學(xué)公式的情況下理解傅里葉分析。
傅里葉分析不僅僅是一個(gè)數學(xué)工具，更是一種可以徹底顛覆一個(gè)人以前世界觀(guān)的思維模式。但不幸的是，傅里葉分析的公式看起來(lái)太復雜了，所以很多大一新生上來(lái)就懵圈并從此對它深?lèi)和唇^。老實(shí)說(shuō)，這么有意思的東西居然成了大學(xué)里的殺手課程，不得不歸咎于編教材的人實(shí)在是太嚴肅了。（您把教材寫(xiě)得好玩一點(diǎn)會(huì )死嗎？會(huì )死嗎？）所以我一直想寫(xiě)一個(gè)有意思的文章來(lái)解釋傅里葉分析，有可能的話(huà)高中生都能看懂的那種。所以，不管讀到這里的您從事何種工作，我保證您都能看懂，并且一定將體會(huì )到通過(guò)傅里葉分析看到世界另一個(gè)樣子時(shí)的快感。至于對于已經(jīng)有一定基礎的朋友，也希望不要看到會(huì )的地方就急忙往后翻，仔細讀一定會(huì )有新的發(fā)現。
————以上是定場(chǎng)詩(shī)————
下面進(jìn)入正題：
抱歉，還是要啰嗦一句：其實(shí)學(xué)習本來(lái)就不是易事，我寫(xiě)這篇文章的初衷也是希望大家學(xué)習起來(lái)更加輕松，充滿(mǎn)樂(lè )趣。但是千萬(wàn)！千萬(wàn)不要把這篇文章收藏起來(lái)，或是存下地址，心里想著(zhù)：以后有時(shí)間再看。這樣的例子太多了，也許幾年后你都沒(méi)有再打開(kāi)這個(gè)頁(yè)面。無(wú)論如何，耐下心，讀下去。這篇文章要比讀課本要輕松、開(kāi)心得多……
一、什么是頻域
從我們出生，我們看到的世界都以時(shí)間貫穿，股票的走勢、人的身高、汽車(chē)的軌跡都會(huì )隨著(zhù)時(shí)間發(fā)生改變。這種以時(shí)間作為參照來(lái)觀(guān)察動(dòng)態(tài)世界的方法我們稱(chēng)其為時(shí)域分析。而我們也想當然的認為，世間萬(wàn)物都在隨著(zhù)時(shí)間不停的改變，并且永遠不會(huì )靜止下來(lái)。但如果我告訴你，用另一種方法來(lái)觀(guān)察世界的話(huà)，你會(huì )發(fā)現世界是永恒不變的，你會(huì )不會(huì )覺(jué)得我瘋了？我沒(méi)有瘋，這個(gè)靜止的世界就叫做頻域。
先舉一個(gè)公式上并非很恰當，但意義上再貼切不過(guò)的例子：
在你的理解中，一段音樂(lè )是什么呢？
這是我們對音樂(lè )最普遍的理解，一個(gè)隨著(zhù)時(shí)間變化的震動(dòng)。但我相信對于樂(lè )器小能手們來(lái)說(shuō)，音樂(lè )更直觀(guān)的理解是這樣的：
好的！下課，同學(xué)們再見(jiàn)。
是的，其實(shí)這一段寫(xiě)到這里已經(jīng)可以結束了。上圖是音樂(lè )在時(shí)域的樣子，而下圖則是音樂(lè )在頻域的樣子。所以頻域這一概念對大家都從不陌生，只是從來(lái)沒(méi)意識到而已。
現在我們可以回過(guò)頭來(lái)重新看看一開(kāi)始那句癡人說(shuō)夢(mèng)般的話(huà)：世界是永恒的。
將以上兩圖簡(jiǎn)化：
時(shí)域：
頻域：
在時(shí)域，我們觀(guān)察到鋼琴的琴弦一會(huì )上一會(huì )下的擺動(dòng)，就如同一支股票的走勢；而在頻域，只有那一個(gè)永恒的音符。
所以
你眼中看似落葉紛飛變化無(wú)常的世界，實(shí)際只是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂(lè )章。
抱歉，這不是一句雞湯文，而是黑板上確鑿的公式：傅里葉同學(xué)告訴我們，任何周期函數，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的疊加。在第一個(gè)例子里我們可以理解為，利用對不同琴鍵不同力度，不同時(shí)間點(diǎn)的敲擊，可以組合出任何一首樂(lè )曲。
而貫穿時(shí)域與頻域的方法之一，就是傳中說(shuō)的傅里葉分析。傅里葉分析可分為傅里葉級數（Fourier Serie）和傅里葉變換(Fourier Transformation)，我們從簡(jiǎn)單的開(kāi)始談起。
二、傅里葉級數(Fourier Series)的頻譜
還是舉個(gè)栗子并且有圖有真相才好理解。
如果我說(shuō)我能用前面說(shuō)的正弦曲線(xiàn)波疊加出一個(gè)帶 90 度角的矩形波來(lái)，你會(huì )相信嗎？你不會(huì )，就像當年的我一樣。但是看看下圖：
第一幅圖是一個(gè)郁悶的正弦波 cos（x）
第二幅圖是 2 個(gè)賣(mài)萌的正弦波的疊加
第三幅圖是 4 個(gè)發(fā)春的正弦波的疊加
第四幅圖是 10 個(gè)便秘的正弦波的疊加
隨著(zhù)正弦波數量逐漸的增長(cháng)，他們最終會(huì )疊加成一個(gè)標準的矩形，大家從中體會(huì )到了什么道理？
（只要努力，彎的都能掰直?。?/div>
隨著(zhù)疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線(xiàn)不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時(shí)繼續上升的部分使其變?yōu)樗骄€(xiàn)。一個(gè)矩形就這么疊加而成了。但是要多少個(gè)正弦波疊加起來(lái)才能形成一個(gè)標準 90 度角的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無(wú)窮多個(gè)。（上帝：我能讓你們猜著(zhù)我？）不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來(lái)的。這是沒(méi)有接觸過(guò)傅里葉分析的人在直覺(jué)上的第一個(gè)難點(diǎn)，但是一旦接受了這樣的設定，游戲就開(kāi)始有意思起來(lái)了。
還是上圖的正弦波累加成矩形波，我們換一個(gè)角度來(lái)看看：
在這幾幅圖中，最前面黑色的線(xiàn)就是所有正弦波疊加而成的總和，也就是越來(lái)越接近矩形波的那個(gè)圖形。而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個(gè)分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向后排列開(kāi)來(lái)，而每一個(gè)波的振幅都是不同的。一定有細心的讀者發(fā)現了，每?jì)蓚€(gè)正弦波之間都還有一條直線(xiàn)，那并不是分割線(xiàn)，而是振幅為 0 的正弦波！也就是說(shuō)，為了組成特殊的曲線(xiàn)，有些正弦波成分是不需要的。
這里，不同頻率的正弦波我們成為頻率分量。
好了，關(guān)鍵的地方來(lái)了??！
如果我們把第一個(gè)頻率最低的頻率分量看作“1”，我們就有了構建頻域的最基本單元。
對于我們最常見(jiàn)的有理數軸，數字“1”就是有理數軸的基本單元。
（好吧，數學(xué)稱(chēng)法為——基。在那個(gè)年代，這個(gè)字還沒(méi)有其他奇怪的解釋?zhuān)竺孢€有正交基這樣的詞匯我會(huì )說(shuō)嗎?）時(shí)域的基本單元就是“1 秒”，如果我們將一個(gè)角頻率為w0的正弦波cos(w0t)看作基礎，那么頻域的基本單元就是w0。
有了“1”，還要有“0”才能構成世界，那么頻域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一個(gè)周期無(wú)限長(cháng)的正弦波，也就是一條直線(xiàn)！所以在頻域，0 頻率也被稱(chēng)為直流分量，在傅里葉級數的疊加中，它僅僅影響全部波形相對于數軸整體向上或是向下而不改變波的形狀。
接下來(lái)，讓我們回到初中，回憶一下已經(jīng)死去的八戒，啊不，已經(jīng)死去的老師是怎么定義正弦波的吧。
正弦波就是一個(gè)圓周運動(dòng)在一條直線(xiàn)上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為一個(gè)始終在旋轉的圓以及這里：
點(diǎn)出去的朋友不要被 wiki 拐跑了，wiki 寫(xiě)的哪有這里的文章這么沒(méi)節操是不是。
介紹完了頻域的基本組成單元，我們就可以看一看一個(gè)矩形波，在頻域里的另一個(gè)模樣了：
這是什么奇怪的東西？
這就是矩形波在頻域的樣子，是不是完全認不出來(lái)了？教科書(shū)一般就給到這里然后留給了讀者無(wú)窮的遐想，以及無(wú)窮的吐槽，其實(shí)教科書(shū)只要補一張圖就足夠了：頻域圖像，也就是俗稱(chēng)的頻譜，就是——
再清楚一點(diǎn)：
可以發(fā)現，在頻譜中，偶數項的振幅都是0，也就對應了圖中的彩色直線(xiàn)。振幅為 0 的正弦波。
老實(shí)說(shuō)，在我學(xué)傅里葉變換時(shí)，維基的這個(gè)圖還沒(méi)有出現，那時(shí)我就想到了這種表達方法，而且，后面還會(huì )加入維基沒(méi)有表示出來(lái)的另一個(gè)譜——相位譜。
但是在講相位譜之前，我們先回顧一下剛剛的這個(gè)例子究竟意味著(zhù)什么。記得前面說(shuō)過(guò)的那句“世界是靜止的”嗎？估計好多人對這句話(huà)都已經(jīng)吐槽半天了。想象一下，世界上每一個(gè)看似混亂的表象，實(shí)際都是一條時(shí)間軸上不規則的曲線(xiàn)，但實(shí)際這些曲線(xiàn)都是由這些無(wú)窮無(wú)盡的正弦波組成。我們看似不規律的事情反而是規律的正弦波在時(shí)域上的投影，而正弦波又是一個(gè)旋轉的圓在直線(xiàn)上的投影。那么你的腦海中會(huì )產(chǎn)生一個(gè)什么畫(huà)面呢？
我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布，幕布的后面有無(wú)數的齒輪，大齒輪帶動(dòng)小齒輪，小齒輪再帶動(dòng)更小的。在最外面的小齒輪上有一個(gè)小人——那就是我們自己。我們只看到這個(gè)小人毫無(wú)規律的在幕布前表演，卻無(wú)法預測他下一步會(huì )去哪。而幕布后面的齒輪卻永遠一直那樣不停的旋轉，永不停歇。這樣說(shuō)來(lái)有些宿命論的感覺(jué)。說(shuō)實(shí)話(huà)，這種對人生的描繪是我一個(gè)朋友在我們都是高中生的時(shí)候感嘆的，當時(shí)想想似懂非懂，直到有一天我學(xué)到了傅里葉級數……
三、傅里葉級數（Fourier Series）的相位譜
上一章的關(guān)鍵詞是：從側面看。這一章的關(guān)鍵詞是：從下面看。
在這一章最開(kāi)始，我想先回答很多人的一個(gè)問(wèn)題：傅里葉分析究竟是干什么用的？這段相對比較枯燥，已經(jīng)知道了的同學(xué)可以直接跳到下一個(gè)分割線(xiàn)。
先說(shuō)一個(gè)最直接的用途。無(wú)論聽(tīng)廣播還是看電視，我們一定對一個(gè)詞不陌生——頻道。頻道頻道，就是頻率的通道，不同的頻道就是將不同的頻率作為一個(gè)通道來(lái)進(jìn)行信息傳輸。下面大家嘗試一件事：
先在紙上畫(huà)一個(gè)sin（x），不一定標準，意思差不多就行。不是很難吧。
好，接下去畫(huà)一個(gè)sin（3x）+sin（5x）的圖形。
別說(shuō)標準不標準了，曲線(xiàn)什么時(shí)候上升什么時(shí)候下降你都不一定畫(huà)的對吧？
好，畫(huà)不出來(lái)不要緊，我把sin（3x）+sin（5x）的曲線(xiàn)給你，但是前提是你不知道這個(gè)曲線(xiàn)的方程式，現在需要你把sin（5x）給我從圖里拿出去，看看剩下的是什么。這基本是不可能做到的。
但是在頻域呢？則簡(jiǎn)單的很，無(wú)非就是幾條豎線(xiàn)而已。
所以很多在時(shí)域看似不可能做到的數學(xué)操作，在頻域相反很容易。這就是需要傅里葉變換的地方。尤其是從某條曲線(xiàn)中去除一些特定的頻率成分，這在工程上稱(chēng)為濾波，是信號處理最重要的概念之一，只有在頻域才能輕松的做到。
再說(shuō)一個(gè)更重要，但是稍微復雜一點(diǎn)的用途——求解微分方程。（這段有點(diǎn)難度，看不懂的可以直接跳過(guò)這段）微分方程的重要性不用我過(guò)多介紹了。各行各業(yè)都用的到。但是求解微分方程卻是一件相當麻煩的事情。因為除了要計算加減乘除，還要計算微分積分。而傅里葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變?yōu)槌朔ê统?，大學(xué)數學(xué)瞬間變小學(xué)算術(shù)有沒(méi)有。
傅里葉分析當然還有其他更重要的用途，我們隨著(zhù)講隨著(zhù)提。
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下面我們繼續說(shuō)相位譜：
通過(guò)時(shí)域到頻域的變換，我們得到了一個(gè)從側面看的頻譜，但是這個(gè)頻譜并沒(méi)有包含時(shí)域中全部的信息。因為頻譜只代表每一個(gè)對應的正弦波的振幅是多少，而沒(méi)有提到相位?；A的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，頻率，相位缺一不可，不同相位決定了波的位置，所以對于頻域分析，僅僅有頻譜（振幅譜）是不夠的，我們還需要一個(gè)相位譜。那么這個(gè)相位譜在哪呢？我們看下圖，這次為了避免圖片太混論，我們用7個(gè)波疊加的圖。
鑒于正弦波是周期的，我們需要設定一個(gè)用來(lái)標記正弦波位置的東西。在圖中就是那些小紅點(diǎn)。小紅點(diǎn)是距離頻率軸最近的波峰，而這個(gè)波峰所處的位置離頻率軸有多遠呢？為了看的更清楚，我們將紅色的點(diǎn)投影到下平面，投影點(diǎn)我們用粉色點(diǎn)來(lái)表示。當然，這些粉色的點(diǎn)只標注了波峰距離頻率軸的距離，并不是相位。
這里需要糾正一個(gè)概念：時(shí)間差并不是相位差。如果將全部周期看作2Pi或者360度的話(huà)，相位差則是時(shí)間差在一個(gè)周期中所占的比例。我們將時(shí)間差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。
在完整的立體圖中，我們將投影得到的時(shí)間差依次除以所在頻率的周期，就得到了最下面的相位譜。所以，頻譜是從側面看，相位譜是從下面看。下次偷看女生裙底被發(fā)現的話(huà)，可以告訴她：“對不起，我只是想看看你的相位譜。”
注意到，相位譜中的相位除了0，就是Pi。因為cos（t+Pi）=-cos（t），所以實(shí)際上相位為Pi的波只是上下翻轉了而已。對于周期方波的傅里葉級數，這樣的相位譜已經(jīng)是很簡(jiǎn)單的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人為定義相位譜的值域為(-pi，pi]，所以圖中的相位差均為Pi。
最后來(lái)一張大集合：
四、傅里葉變換（Fourier Tranformation）
相信通過(guò)前面三章，大家對頻域以及傅里葉級數都有了一個(gè)全新的認識。但是文章在一開(kāi)始關(guān)于鋼琴琴譜的例子我曾說(shuō)過(guò)，這個(gè)栗子是一個(gè)公式錯誤，但是概念典型的例子。所謂的公式錯誤在哪里呢？
傅里葉級數的本質(zhì)是將一個(gè)周期的信號分解成無(wú)限多分開(kāi)的（離散的）正弦波，但是宇宙似乎并不是周期的。曾經(jīng)在學(xué)數字信號處理的時(shí)候寫(xiě)過(guò)一首打油詩(shī)：
往昔連續非周期，
回憶周期不連續，
任你ZT、DFT，
還原不回去。
?。ㄕ垷o(wú)視我渣一樣的文學(xué)水平……）
在這個(gè)世界上，有的事情一期一會(huì )，永不再來(lái)，并且時(shí)間始終不曾停息地將那些刻骨銘心的往昔連續的標記在時(shí)間點(diǎn)上。但是這些事情往往又成為了我們格外寶貴的回憶，在我們大腦里隔一段時(shí)間就會(huì )周期性的蹦出來(lái)一下，可惜這些回憶都是零散的片段，往往只有最幸福的回憶，而平淡的回憶則逐漸被我們忘卻。因為，往昔是一個(gè)連續的非周期信號，而回憶是一個(gè)周期離散信號。
是否有一種數學(xué)工具將連續非周期信號變換為周期離散信號呢？抱歉，真沒(méi)有。
比如傅里葉級數，在時(shí)域是一個(gè)周期且連續的函數，而在頻域是一個(gè)非周期離散的函數。這句話(huà)比較繞嘴，實(shí)在看著(zhù)費事可以干脆回憶第一章的圖片。
而在我們接下去要講的傅里葉變換，則是將一個(gè)時(shí)域非周期的連續信號，轉換為一個(gè)在頻域非周期的連續信號。
算了，還是上一張圖方便大家理解吧：
或者我們也可以換一個(gè)角度理解：傅里葉變換實(shí)際上是對一個(gè)周期無(wú)限大的函數進(jìn)行傅里葉變換。
所以說(shuō)，鋼琴譜其實(shí)并非一個(gè)連續的頻譜，而是很多在時(shí)間上離散的頻率，但是這樣的一個(gè)貼切的比喻真的是很難找出第二個(gè)來(lái)了。
因此在傅里葉變換在頻域上就從離散譜變成了連續譜。那么連續譜是什么樣子呢？
你見(jiàn)過(guò)大海么？
為了方便大家對比，我們這次從另一個(gè)角度來(lái)看頻譜，還是傅里葉級數中用到最多的那幅圖，我們從頻率較高的方向看。
以上是離散譜，那么連續譜是什么樣子呢？
盡情的發(fā)揮你的想象，想象這些離散的正弦波離得越來(lái)越近，逐漸變得連續……直到變得像波濤起伏的大海：
很抱歉，為了能讓這些波浪更清晰的看到，我沒(méi)有選用正確的計算參數，而是選擇了一些讓圖片更美觀(guān)的參數，不然這圖看起來(lái)就像屎一樣了。
不過(guò)通過(guò)這樣兩幅圖去比較，大家應該可以理解如何從離散譜變成了連續譜的了吧？原來(lái)離散譜的疊加，變成了連續譜的累積。所以在計算上也從求和符號變成了積分符號。
不過(guò)，這個(gè)故事還沒(méi)有講完，接下去，我保證讓你看到一幅比上圖更美麗壯觀(guān)的圖片，但是這里需要介紹到一個(gè)數學(xué)工具才能然故事繼續，這個(gè)工具就是——
五、宇宙耍帥第一公式：歐拉公式
虛數i這個(gè)概念大家在高中就接觸過(guò)，但那時(shí)我們只知道它是-1 的平方根，可是它真正的意義是什么呢
這里有一條數軸，在數軸上有一個(gè)紅色的線(xiàn)段，它的長(cháng)度是1。當它乘以 3 的時(shí)候，它的長(cháng)度發(fā)生了變化，變成了藍色的線(xiàn)段，而當它乘以-1 的時(shí)候，就變成了綠色的線(xiàn)段，或者說(shuō)線(xiàn)段在數軸上圍繞原點(diǎn)旋轉了 180 度。
我們知道乘-1 其實(shí)就是乘了兩次 i 使線(xiàn)段旋轉了 180 度，那么乘一次 i 呢——答案很簡(jiǎn)單——旋轉了 90 度。
同時(shí)，我們獲得了一個(gè)垂直的虛數軸。實(shí)數軸與虛數軸共同構成了一個(gè)復數的平面，也稱(chēng)復平面。這樣我們就了解到，乘虛數i的一個(gè)功能——旋轉。
現在，就有請宇宙第一耍帥公式歐拉公式隆重登場(chǎng)——這個(gè)公式在數學(xué)領(lǐng)域的意義要遠大于傅里葉分析，但是乘它為宇宙第一耍帥公式是因為它的特殊形式——當x等于 Pi 的時(shí)候。
經(jīng)常有理工科的學(xué)生為了跟妹子表現自己的學(xué)術(shù)功底，用這個(gè)公式來(lái)給妹子解釋數學(xué)之美：”石榴姐你看，這個(gè)公式里既有自然底數e，自然數 1 和0，虛數i還有圓周率 pi，它是這么簡(jiǎn)潔，這么美麗??！“但是姑娘們心里往往只有一句話(huà)：”臭屌絲……“這個(gè)公式關(guān)鍵的作用，是將正弦波統一成了簡(jiǎn)單的指數形式。我們來(lái)看看圖像上的涵義：
歐拉公式所描繪的，是一個(gè)隨著(zhù)時(shí)間變化，在復平面上做圓周運動(dòng)的點(diǎn)，隨著(zhù)時(shí)間的改變，在時(shí)間軸上就成了一條螺旋線(xiàn)。如果只看它的實(shí)數部分，也就是螺旋線(xiàn)在左側的投影，就是一個(gè)最基礎的余弦函數。而右側的投影則是一個(gè)正弦函數。
關(guān)于復數更深的理解，大家可以參考：
復數的物理意義是什么？
這里不需要講的太復雜，足夠讓大家理解后面的內容就可以了。
六、指數形式的傅里葉變換
有了歐拉公式的幫助，我們便知道：正弦波的疊加，也可以理解為螺旋線(xiàn)的疊加在實(shí)數空間的投影。而螺旋線(xiàn)的疊加如果用一個(gè)形象的栗子來(lái)理解是什么呢？
光波
高中時(shí)我們就學(xué)過(guò)，自然光是由不同顏色的光疊加而成的，而最著(zhù)名的實(shí)驗就是牛頓師傅的三棱鏡實(shí)驗：
所以其實(shí)我們在很早就接觸到了光的頻譜，只是并沒(méi)有了解頻譜更重要的意義。
但不同的是，傅里葉變換出來(lái)的頻譜不僅僅是可見(jiàn)光這樣頻率范圍有限的疊加，而是頻率從 0 到無(wú)窮所有頻率的組合。
這里，我們可以用兩種方法來(lái)理解正弦波：
第一種前面已經(jīng)講過(guò)了，就是螺旋線(xiàn)在實(shí)軸的投影。
另一種需要借助歐拉公式的另一種形式去理解：
將以上兩式相加再除2，得到：
這個(gè)式子可以怎么理解呢？
我們剛才講過(guò)，e^(it)可以理解為一條逆時(shí)針旋轉的螺旋線(xiàn)，那么e^(-it)則可以理解為一條順時(shí)針旋轉的螺旋線(xiàn)。而 cos (t)則是這兩條旋轉方向不同的螺旋線(xiàn)疊加的一半，因為這兩條螺旋線(xiàn)的虛數部分相互抵消掉了！
舉個(gè)例子的話(huà)，就是極化方向不同的兩束光波，磁場(chǎng)抵消，電場(chǎng)加倍。
這里，逆時(shí)針旋轉的我們稱(chēng)為正頻率，而順時(shí)針旋轉的我們稱(chēng)為負頻率（注意不是復頻率）。
好了，剛才我們已經(jīng)看到了大海——連續的傅里葉變換頻譜，現在想一想，連續的螺旋線(xiàn)會(huì )是什么樣子：
想象一下再往下翻：
是不是很漂亮？
你猜猜，這個(gè)圖形在時(shí)域是什么樣子？
哈哈，是不是覺(jué)得被狠狠扇了一個(gè)耳光。數學(xué)就是這么一個(gè)把簡(jiǎn)單的問(wèn)題搞得很復雜的東西。
順便說(shuō)一句，那個(gè)像大海螺一樣的圖，為了方便觀(guān)看，我僅僅展示了其中正頻率的部分，負頻率的部分沒(méi)有顯示出來(lái)。
如果你認真去看，海螺圖上的每一條螺旋線(xiàn)都是可以清楚的看到的，每一條螺旋線(xiàn)都有著(zhù)不同的振幅（旋轉半徑），頻率（旋轉周期）以及相位。而將所有螺旋線(xiàn)連成平面，就是這幅海螺圖了。
好了，講到這里，相信大家對傅里葉變換以及傅里葉級數都有了一個(gè)形象的理解了，我們最后用一張圖來(lái)總結一下：
好了，傅里葉的故事終于講完了，下面來(lái)講講我的故事：
這篇文章第一次被卸下來(lái)的地方你們絕對猜不到在哪，是在一張高數考試的卷子上。當時(shí)為了刷分，我重修了高數（上），但是后來(lái)時(shí)間緊壓根沒(méi)復習，所以我就抱著(zhù)裸考的心態(tài)去了考場(chǎng)。但是到了考場(chǎng)我突然意識到，無(wú)論如何我都不會(huì )比上次考的更好了，所以干脆寫(xiě)一些自己對于數學(xué)的想法吧。于是用了一個(gè)小時(shí)左右的時(shí)間在試卷上洋洋灑灑寫(xiě)了本文的第一草稿。
你們猜我的了多少分？
6分
沒(méi)錯，就是這個(gè)數字。而這 6 分的成績(jì)是因為最后我實(shí)在無(wú)聊，把選擇題全部填上了C，應該是中了兩道，得到了這寶貴的 6 分。說(shuō)真的，我很希望那張卷子還在，但是應該不太可能了。
在重修的過(guò)程中，我仔細分析了每一個(gè)公式，試圖給這個(gè)公式以一個(gè)直觀(guān)的理解。雖然我知道對于研究數學(xué)的人來(lái)說(shuō)，這樣的學(xué)習方法完全沒(méi)有前途可言，因為隨著(zhù)概念愈加抽象，維度越來(lái)越高，這種圖像或者模型理解法將完全喪失作用。但是對于一個(gè)工科生來(lái)說(shuō)，足夠了。
后來(lái)來(lái)了德國，這邊學(xué)校要求我重修信號與系統時(shí)，我徹底無(wú)語(yǔ)了。但是沒(méi)辦法，德國人有時(shí)對中國人就是有種藐視，覺(jué)得你的教育不靠譜。所以沒(méi)辦法，再來(lái)一遍吧。
這次，我考了滿(mǎn)分，而及格率只有一半。
老實(shí)說(shuō)，數學(xué)工具對于工科生和對于理科生來(lái)說(shuō)，意義是完全不同的。工科生只要理解了，會(huì )用，會(huì )查，就足夠了。但是很多高校卻將這些重要的數學(xué)課程教給數學(xué)系的老師去教。這樣就出現一個(gè)問(wèn)題，數學(xué)老師講得天花亂墜，又是推理又是證明，但是學(xué)生心里就只有一句話(huà)：學(xué)這貨到底干嘛用的？
缺少了目標的教育是徹底的失敗。
在開(kāi)始學(xué)習一門(mén)數學(xué)工具的時(shí)候，學(xué)生完全不知道這個(gè)工具的作用，現實(shí)涵義。而教材上有只有晦澀難懂，定語(yǔ)就二十幾個(gè)字的概念以及看了就眼暈的公式。能學(xué)出興趣來(lái)就怪了！
好在我很幸運，遇到了大連海事大學(xué)的吳楠老師。他的課全程來(lái)看是兩條線(xiàn)索，一條從上而下，一條從下而上。先將本門(mén)課程的意義，然后指出這門(mén)課程中會(huì )遇到哪樣的問(wèn)題，讓學(xué)生知道自己學(xué)習的某種知識在現實(shí)中扮演的角色。然后再從基礎講起，梳理知識樹(shù)，直到延伸到另一條線(xiàn)索中提出的問(wèn)題，完美的銜接在一起！
這樣的教學(xué)模式，我想才是大學(xué)里應該出現的。
最后，寫(xiě)給所有給我點(diǎn)贊并留言的同學(xué)。真的謝謝大家的支持，也很抱歉不能一一回復。因為知乎專(zhuān)欄的留言要逐次加載，為了看到最后一條要點(diǎn)很多次加載。當然我都堅持看完了，只是沒(méi)辦法一一回復。
本文只是介紹了一種對傅里葉分析新穎的理解方法，對于求學(xué)，還是要踏踏實(shí)實(shí)弄清楚公式和概念，學(xué)習，真的沒(méi)有捷徑。但至少通過(guò)本文，我希望可以讓這條漫長(cháng)的路變得有意思一些。
