【導讀】近有一系列基于 PWM 信號“處理器”主題的設計思想發(fā)表。這些處理器的目的是限度地減少響應 PWM 占空比變化的建立時(shí)間和殘余 PWM 紋波。在許多情況下，更簡(jiǎn)單的處理器（僅由一個(gè)由電阻器和電容器構建的低通濾波器組成）表現良好（圖 1）。
近有一系列基于 PWM 信號“處理器”主題的設計思想發(fā)表。這些處理器的目的是限度地減少響應 PWM 占空比變化的建立時(shí)間和殘余 PWM 紋波。在許多情況下，更簡(jiǎn)單的處理器（僅由一個(gè)由電阻器和電容器構建的低通濾波器組成）表現良好（圖 1）。
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圖 1帶有低通濾波器的簡(jiǎn)單 PWM 處理器，該低通濾波器由電阻器和電容器構成，該濾波器結構只能實(shí)現實(shí)極點(diǎn)。
然而，關(guān)于如何為任意特性的PWM選擇濾波器元件值的討論很少，更不用說(shuō)針對一種想法中提到的特定PWM（8位，1MHz時(shí)鐘）。在本文中，我將介紹一種針對任意周期 PWM 優(yōu)化這些更簡(jiǎn)單濾波器的方法。
讓我們從一些術(shù)語(yǔ)開(kāi)始：我們將未過(guò)濾的 PWM 描述為具有 B 位、占空比 d、周期 T 和（無(wú)單位）輸出值 0 或 1。（警告：如果您只想解決問(wèn)題并且不想體驗推導的快感和數學(xué)的痛苦，請跳至本文末尾的“實(shí)施解決方案”部分。）
對于具有負、不等極點(diǎn) p1、p2 和 p3 的任何三階濾波器，單位階躍的時(shí)域響應為：
如果兩個(gè)或三個(gè)極點(diǎn)相等，則響應不同。對于三個(gè)，它是：
我們的興趣之一是穩定到 1 的指定分數 F 所需的時(shí)間 (t s )（從 d = 0 到 1 的滿(mǎn)量程 PWM 轉換的壞情況）。處理幅度穩定誤差 (ASE)，h(t, p1, p2, p3) = 1 – hh(t, p1, p2, p3)。ASE 在時(shí)間 t = 無(wú)窮大時(shí)完全穩定（歸零）。我們可能會(huì )詢(xún)問(wèn) t s的值，使得 h(t s ,p1,p2,p3) = F = 2 -B-1或 PWM 的 ? LSB。當然，如果應用程序產(chǎn)生更小的占空比階躍，則可以做出其他選擇。
我們還對過(guò)濾后的 PWM 紋波的幅度感興趣。濾波器的頻率響應為：
其中 j = (√-1)，ω 是以弧度/秒 (rad/sec) 為單位的頻率。
未濾波的 PWM 輸出可以表示為頻率為 1/T = ω PWM /(2π) Hz整數倍的無(wú)限多個(gè)正弦波的總和。當 d = 50% 且頻率為 ω PWM弧度/秒時(shí)，可產(chǎn)生的幅度正弦波具有 2/π 的峰值幅度。整個(gè) PWM 信號通過(guò)一個(gè)低通濾波器，該濾波器比個(gè)衰減更高的倍數。在這些條件下，相當好的低通濾波器的輸出幾乎完全由 ω PWM的頻率組成。顯然，過(guò)多的紋波和過(guò)多的穩定時(shí)間同樣會(huì )毀掉您的一天。所以我們想知道 ω PWM和 t s對于 ASE 和紋波幅度都等于 F 的濾波器，即它們滿(mǎn)足 H(ω PWM , p1, p2, p3) = π?HH(ω PWM , p1, p2, p3 )/2 = F 且 F = h(t s , p1, p2, p3)。當然，我們還想找到對于給定的 F 值能為我們提供 t s和 ω PWM的濾波器。
讓我們首先看一下 PWM 的具體情況，其值為 T = 2 8 /1 MHz = .000256，其中 ω PWM = 2π/T = 24543。一個(gè)明顯的起點(diǎn)是等值電阻器和電容器的濾波器。對于圖 1 電路，頻率響應傳遞函數為：
將每個(gè) R 設置為 1 Ω，將每個(gè) C 設置為 1 F，多項式求根例程可用于確定滿(mǎn)足 H() = F = 2 -8-1 : -3.247, -1.555的三個(gè)極點(diǎn)和 ω 的值, -.1981 和 9.0699。為了在頻率 ω PWM下獲得相同的衰減，將極數相乘，電阻器除以 FSF = ω PWM /ω。當然，至少可以說(shuō)，這些電阻器和 1 F 電容器使用起來(lái)不方便。因此，我們可以選擇一個(gè)阻抗比例因子 ZSF，例如 10 -8乘以電容并劃分電阻。結果為 37.0k（選擇接近的標準值）和 10n。（應用 ZSF 對濾波器的響應沒(méi)有影響。）已知 1 Ω / 1 F 濾波器的極點(diǎn)并要求 h( ) = F，求根例程也為我們提供了 t s = 32.5 s 的值。將 t s除以 FSF 保持相同的 F 并導致 t s的值等于 12.01 ms。
當然，沒(méi)有理由期望 R’s 和 C’s 相等會(huì )產(chǎn)生一個(gè)濾波器，在給定的 F 值下產(chǎn)生盡可能低的 t s和 ω PWM。我們應該如何尋找更好的濾波器？我們使用蒙特卡洛。從上面極點(diǎn)的 FSF 縮放值開(kāi)始，只有當它減少 H( , , , ω PWM ) 或 h(, , , t s ) 的值而不增加另一個(gè)的值時(shí)，才會(huì )選擇一個(gè)新的、更好的極點(diǎn)集. 運行了一個(gè) 1000 萬(wàn)樣本的蒙特卡羅，其中包含一組隨機選擇的極點(diǎn)。結果是 -2290.7、-2238.9 和 -2218.6 處的極點(diǎn)，更好的紋波衰減 .001938 < F，以及大大改進(jìn)的 ASE 7.3834?10 -10. 顯然，的選擇是同極，有時(shí)也稱(chēng)為同步極。不幸的是，不可能用圖 1 的網(wǎng)絡(luò )實(shí)現同步極點(diǎn)。但是如果我們設置 R 3 = K?R 2 = K 2 ?R 1和 C 1 = K?C 2 = K^2C 3 ，我們可以接近，其中 K 是一個(gè)大于 1 的值。K越大越好。當然，K 的值有明顯的實(shí)際限制，但讓我們看看 K 為 1、√10、10、100 和無(wú)窮大的情況。參見(jiàn)圖 2，它顯示了滿(mǎn)足“標準”的濾波器的時(shí)域響應。
圖 2 ASE 顯示了各種濾波器類(lèi)型的滿(mǎn)量程 PWM 轉換與時(shí)間的關(guān)系。水平線(xiàn)對應于 2 -9的 ASE 。
水平虛線(xiàn)的值為 F = 2 -9。其他每條曲線(xiàn)對應于 H( , , , ω PWM ) 也為 F 的濾波器的 ASE。曲線(xiàn)在濾波器的 ASE 降至 F 時(shí)與水平線(xiàn)相交。表現差的是紅色曲線(xiàn)，其中對于 K = 1，R 和 C 相等。對于 K = √10 和 10，黃色和綠色更好并且看起來(lái)實(shí)用，但是藍色 K = 100 濾波器需要 K 2 = 10000 的阻抗比。紫色 K = 無(wú)窮大曲線(xiàn)是無(wú)法實(shí)現的……或者是嗎？
圖 1 網(wǎng)絡(luò )的濾波器在驅動(dòng)阻性負載時(shí)會(huì )降低精度。簡(jiǎn)單的解決方案是在電壓跟隨器配置中使用運算放大器緩沖它們的輸出。使用此運算放大器還有另一大優(yōu)勢：圖 3中的濾波器配置擴展了可實(shí)現的濾波器類(lèi)型的數量，不僅包括等極點(diǎn)版本，還包括性能更好的濾波器——通過(guò)反復試驗確定的復雜極點(diǎn)濾波器，從貝塞爾濾波器的極點(diǎn)開(kāi)始?！案谩钡臉O點(diǎn)是：-.84668、-.786203+.725726?√-1 和 -.786203-.725726?√-1。該濾波器的 R 值可以縮放，使其衰減 H( , , , ) 在 ω PWM是 F?？s放濾波器的性能由黑色曲線(xiàn)反映。為什么奇怪的形狀？復數極點(diǎn)產(chǎn)生由阻尼振蕩組成的時(shí)間響應。它在穩定時(shí)反復通過(guò)零。圖中顯示的是響應的。
圖 3可以實(shí)現實(shí)極點(diǎn)（部分或全部相同）和復極點(diǎn)的濾波器結構圖像。對于顯示的組件值，表 1 的復數極部分的每個(gè)給定行中的參數值都得到滿(mǎn)足（見(jiàn)正文）。
您可能認為這些圖顯示了復極點(diǎn)濾波器的先天優(yōu)勢。但它們僅代表 F = 2 -9滿(mǎn)足“標準”的情況。F 的其他值呢？其他值為 ω PWM的 PWM 又如何呢？這是一個(gè)答案。PWM 具有整數位數，因此僅當 N 是一組正整數時(shí)，才考慮 F = 2 -N的值才有意義。對于每個(gè) 2 -N和每個(gè)正在考慮的過(guò)濾器，我們可以確定滿(mǎn)足“標準”的 ω 和 t s的值。知道 ω 后，可以為任何所需的 PWM ω PWM計算 FSF ，FSF 也可以用于確定縮放 t s的值和過(guò)濾器 R’s。在具有 FSF 標度極點(diǎn)的濾波器中，ω標度= FSF?ω 和 t s-標度= t s /FSF。因此，無(wú)論 PWM 頻率 ω PWM為何，ωPWM與 FSF 縮放的 t s的乘積將保持不變。這個(gè)產(chǎn)品的價(jià)值越小越好。我們可以針對復數濾波器和同步濾波器比較這些產(chǎn)品，以確定哪個(gè)是每個(gè) F 值的更好選擇。請參閱表 1。
表 1對于各種 F = 2 -N值，復雜同步濾波器的ω、t s和 ω?t s的值。
比較表明，對于每個(gè) F，復濾波器具有更小的值乘積，是更好的選擇。我們現在可以概括濾波器設計過(guò)程。
實(shí)施解決方案
一個(gè)具體的例子將說(shuō)明一般問(wèn)題的解決方案。假設一個(gè) PWM，其中 B = 8 且 T = 2 B /1 MHz = .000256。我們想要 F = 2 -9的紋波電平和 ASE 。圖 3 顯示了表 1 中復雜濾波器的濾波器元件值。對于 N = 9，濾波器給出頻率 ω = 9.1868，對應 F 值。但我們希望衰減頻率為 ω PWM = 2π /T。我們需要將濾波器的電阻器和表的 t s = 6.3876 除以 FSF = ω PCM /ω = 2671.7。由此得出 R1 = 66.527 kΩ、R2 = 45.445 kΩ 和 R3 = 178.95 kΩ（您可以使用接近的標準值）和 t s= 2.39 毫秒。您也可以選擇通過(guò)恒定 ZSF 縮放這些電容器和電阻器，將電阻器乘以該值并將電容器除以該值。ZSF 操作對濾波器響應沒(méi)有影響。
應該注意的是，對于 N = 6 或更小的值，同步濾波器具有比復數濾波器更小、更好的 ω 值，并且對于更大的 N 值，ω 的值幾乎相同。盡管如此，復雜的過(guò)濾器仍然是更好的選擇；可以使用表中對之間的分母中的 ω 值計算 FSF。增大 ω 會(huì )增加紋波衰減和穩定時(shí)間?？偰苷业揭粋€(gè) FSF 值，它會(huì )導致 ω 和 t s的縮放濾波器值比其他濾波器提供的值更小。
為任意頻率的 PWM 設計濾波器
已經(jīng)提出了一種使用運算放大器和三對電阻器和電容器的方法來(lái)設計用于任意頻率和位數的 PWM 的濾波器。該濾波器將 ASE 和峰值紋波限制為 F，即用戶(hù)選擇的負整數 2 的冪。研究了具有各種相互關(guān)系的極點(diǎn)的濾波器。所選的復極點(diǎn)濾波器在所考慮的濾波器中具有的頻率和穩定時(shí)間乘積。使用表 1 和圖 3，對于任何頻率的 PWM，濾波器組件可以縮放到所需的 F 值?？梢詫Ρ碇辛谐龅姆€定時(shí)間應用相同的縮放比例，以計算縮放后的穩定時(shí)間。
如果您更喜歡無(wú)運算放大器的解決方案，您可能需要考慮圖 1 電路的 K = 10 版本。在 R1 = 4.3k 和 C1 = 100n 的情況下，對于 F = 2 -9，您在圖 2 中的綠色曲線(xiàn)中看到的 t s約為 4.6 ms。對于相同的 F，該濾波器的 ω 為 15787 弧度/秒。我尚未提供此濾波器的表格，但您可以在將不同的 FSF 應用于濾波器電阻器時(shí)在電路模擬器中測試結果。
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