【導讀】在封裝開(kāi)發(fā)中，如何正確使用數據表的熱特性參數以做出設計決策經(jīng)常存在一定的誤區。之前我們討論了穩態(tài)數據和瞬態(tài)數據的解讀與多輸入瞬態(tài)模型，今天我們將繼續分析各種模型下的瞬態(tài)響應。
多結器件和瞬態(tài)響應
上一部分中提到了多輸入瞬態(tài)模型。正如熱系統的穩態(tài)描述一樣，也可以構建多結器件的瞬態(tài)描述。如果遵循矩陣方法，唯一區別是矩陣的每個(gè)元素都是時(shí)間的函數。對于器件中的每個(gè)熱源，都會(huì )有一條“自發(fā)熱”瞬態(tài)響應曲線(xiàn)；對于系統中的每個(gè)其他關(guān)注點(diǎn)，都會(huì )存在一條“相互作用”瞬態(tài)響應曲線(xiàn)。
在同樣的限制性假設的約束下，線(xiàn)性疊加和互易原理仍然適用。也就是說(shuō)，系統中任何一點(diǎn)的時(shí)變響應都可以被視為其對每個(gè)獨立熱源的響應的線(xiàn)性疊加，就好像每個(gè)熱源都是單獨供電的，并且獨立于其他熱源。此外，互易定理的不太直觀(guān)的真實(shí)性適用于時(shí)域：也就是，網(wǎng)絡(luò )中點(diǎn)“A”處的（恒定）熱量輸入在點(diǎn)“B”處引起的瞬態(tài)響應，與點(diǎn)“B”處施加的相同量熱輸入在點(diǎn)“A”處引起的瞬態(tài)響應完全相同。因此，在矩陣描述中，關(guān)于主對角線(xiàn)的對稱(chēng)性仍將存在?；ヒ锥ɡ淼淖畲笥绊懸苍S體現在實(shí)驗上：實(shí)際上，只需要測量所有可能相互作用熱瞬態(tài)響應的一半就行。
電路仿真器
描述 Cauer 模型的數學(xué)響應所需的代數非常麻煩，若沒(méi)有電路仿真器，這種模型幾乎沒(méi)有用處。因此，如果只有 Cauer 模型可用的話(huà)，那么電路仿真器是必不可少的。當然，如果有電路仿真器，電路就是電路，因此很明顯，Cauer 階梯和 Foster 階梯可以同樣容易地進(jìn)行分析。事實(shí)上，對于單輸入網(wǎng)絡(luò )，整體方法并無(wú)區別，只是網(wǎng)絡(luò )連接和元素值等細節有區別。
對于多輸入網(wǎng)絡(luò )，Cauer 網(wǎng)絡(luò )非常簡(jiǎn)單（參見(jiàn)圖 9）?；叵胍幌?，Cauer 網(wǎng)絡(luò )是在具有物理意義的某些前提下導出的，各種可能的熱源之間的相互作用會(huì )被構建到網(wǎng)絡(luò )本身的拓撲結構中。對于每個(gè)熱源的熱量輸入，將有電阻和電容“自動(dòng)”提供正確的相互作用響應；互易和疊加是該方法的必然結果。只需將接地電容 Cauer 模型以及原理圖中明示的所有節點(diǎn)和互連輸入仿真器，任務(wù)就完成了。
圖 9. 在電路仿真器中實(shí)現多輸入 Cauer 網(wǎng)絡(luò )
多源 Foster 模型在電路仿真器中的實(shí)現更加復雜，具體如何完成將取決于可用仿真器的特性。Foster 模型不過(guò)是瞬態(tài)響應曲線(xiàn)的數學(xué)擬合示意圖，因此特定“自發(fā)熱”Foster 階梯中的電阻和電容不會(huì )與任何相互作用網(wǎng)絡(luò )中的電阻和電容相關(guān)；即使我們可能知道兩個(gè)熱源之間有許多潛在的共同熱路徑，這兩個(gè)熱源的自發(fā)熱 Foster 階梯元件之間也不會(huì )有任何相關(guān)性。此外，根據 Foster 階梯的推導方式，甚至模型中各種曲線(xiàn)的時(shí)間常數也可能不一致！同樣，根據 Foster 階梯的推導方式，甚至可能存在“負”幅度。顯然，如果 Foster 表示中出現負幅度，電路仿真器必須允許負電阻?；蛘?，仿真器必須提供一種編程方法，以從一個(gè)節點(diǎn)的響應中減去另一個(gè)節點(diǎn)的響應，從而從正子電路構造負貢獻。類(lèi)似地，為了在電路仿真器中實(shí)現多輸入 Foster 模型，必須小心地故意創(chuàng )建“求和”節點(diǎn)，以在整體模型的各個(gè)原本獨立的自發(fā)熱和相互作用加熱部分之間實(shí)現線(xiàn)性疊加原理。如果電路仿真工具不能提供足夠的功能來(lái)完成這些任務(wù)，基于電子表格的實(shí)現方案將是最佳的替代選擇。圖 10 顯示了可能的步驟。
圖 10. 在電路仿真器中實(shí)現多輸入 Foster 網(wǎng)絡(luò )
電子表格模型
如前所述，Cauer 模型基本上需要一個(gè)電路仿真器，甚至單輸入模型也需要。然而，對于 Foster 階梯，電子表格工具可以方便地實(shí)現單輸入和多輸入模型。這因為 Foster 模型在數學(xué)上非常簡(jiǎn)單，電子表格可以毫不費力地引入疊加。例如，考慮一下用 Microsoft Excel 編寫(xiě)單輸入 Foster 階梯的恒定功率瞬態(tài)響應的簡(jiǎn)便性。假設將如下含義賦予電子表格中的某些單元格：
單元格 A1 是功率水平
單元格 B1:B10 是幅度
單元格 C1:C10 是時(shí)間常數（其中 C1 是 B1 幅度對應的時(shí)間常數，以此類(lèi)推）
單元格 D1 是恒定功率步進(jìn)開(kāi)始后的時(shí)間
那么計算時(shí)間 D1 時(shí)的溫升的 Excel 公式為：
雖然沒(méi)有必要，但也可以注意到，通過(guò)使用 Excel 的名稱(chēng)功能和明智地使用絕對引用與相對引用表示法，我們可以使該公式更容易記憶，并且易于復制到不同位置，以便計算許多不同時(shí)間的結果。修改前面的例子；用 Foster 型幅度和 tau 表示的單脈沖發(fā)熱曲線(xiàn)的數學(xué)表達式為：
（公式23）
定義名稱(chēng)
功率 $A$1
幅度 $B$1:$B$10
tau $C$1:$C$10
時(shí)間 D1
現在我們可以使用更具可讀性的公式：
例如，如果該公式被輸入單元格 E1，則可以將其復制到單元格 E2 至 E100，從而產(chǎn)生單元格 D2 至 D100 中每個(gè)時(shí)間的時(shí)間響應。還可以利用 Excel 的表格功能，從單個(gè)公式創(chuàng )建一個(gè)包含許多值的表格 4。
由于引入了時(shí)變功率輸入，并且引入了多個(gè)熱源，情況顯然變得更加復雜，但對于數量相對有限的輸入和時(shí)間步進(jìn)，這仍然是可管理的。方法已在前面說(shuō)明（圖 3 給出了示例），但有以下調整：(1) 任何關(guān)注點(diǎn)處的溫度是都是全部熱源在該點(diǎn)引起的響應的疊加；(2) 每當任何熱源的功率輸入改變時(shí)，必須創(chuàng )建一個(gè)新的時(shí)間“步進(jìn)”，哪怕在該時(shí)刻所討論的點(diǎn)的功率沒(méi)有變化。
RC 模型和短時(shí)瞬態(tài)響應
對于那些不熟悉 Excel 中“數組”公式的人來(lái)說(shuō)，前面的示例用緊湊的表示法完成了一些非常強大的運算。首先，數組語(yǔ)法本身的使用告訴 Excel 依次對范圍中的每個(gè)單元格執行相同的計算；由于在所識別的兩個(gè)數組中每一個(gè)數組有 10 個(gè)單元格，因此產(chǎn)生 10 個(gè)并行計算結果。這意味著(zhù)代表 10 個(gè)幅度和時(shí)間常數的 10 個(gè)不同項是一起計算。其次，公式周?chē)拇罄ㄌ?{} 表示公式實(shí)際上是用 Ctrl-Shift-Enter 按鍵輸入電子表格的，而不是普通的 Enter 按鍵。這告訴 Excel，我們希望它返回所有可用的數組結果，無(wú)論分配給公式的單元格有多少。然而，這里不需要單獨查看所有 10 個(gè)結果，但是我們仍然希望訪(fǎng)問(wèn)所有結果，即使只有一個(gè)單元格是公式結果的目標。因此，最后我們使用 SUM 函數來(lái)告訴 Excel 將這 10 個(gè)單獨的結果相加，而不是只報告我們?yōu)楣轿恢眠x擇的單個(gè)單元格中的第一個(gè)結果。
可以在數學(xué)上證明，當時(shí)間尺度短于其最快時(shí)間常數時(shí)，RC 模型的瞬態(tài)響應將變成與時(shí)間成比例。如果 (1) 關(guān)注的時(shí)間尺度略大于最快時(shí)間常數，或者 (2) 已知隨時(shí)間的線(xiàn)性響應對于所考慮的系統是合適的，這將不是問(wèn)題。然而，正如隨后將討論的，對于許多半導體器件，存在一個(gè)時(shí)間范圍，在該范圍內“表面發(fā)熱”的概念非常接近真實(shí)的熱物理。在表面發(fā)熱中，器件瞬態(tài)響應與時(shí)間的平方根成正比，而不是與時(shí)間呈線(xiàn)性關(guān)系?，F在，一個(gè)正確構建的 RC 模型能夠以極高的精度遵循這種平方根行為，但僅針對大于模型最短時(shí)間常數的時(shí)間尺度。因此，只要使用 RC 模型，就必須考慮最短時(shí)間常數是否足夠快以滿(mǎn)足分析的需要。對于 Foster 階梯，最快時(shí)間常數是確切知道的。對于 Cauer 階梯，可以類(lèi)似方式獲得對最快時(shí)間常數的良好估計，即最接近結的 RC 對的乘積。在任何情況下，如果最短合法時(shí)間常數不小于目標最短時(shí)間尺度，尤其是在微秒到毫秒的時(shí)間尺度上，那么在解釋 RC 模型結果時(shí)應格外小心。當平方根模型合適時(shí)，如果使用線(xiàn)性模型，則由該模型預測的溫度變化會(huì )發(fā)生得太慢，這可能導致嚴重低估最高結溫。
考慮到這一點(diǎn)，下表列出了相同 D2pak 器件在兩個(gè)不同熱測試板上的 RC 模型。對于每個(gè)測試板，下表同時(shí)給出了 Cauer 網(wǎng)絡(luò )和 Foster 網(wǎng)絡(luò )。應該強調的是，這些 Foster 網(wǎng)絡(luò )實(shí)際上是相應 Cauer 網(wǎng)絡(luò )的精確數學(xué)等價(jià)物。通過(guò)下表可以明白前面討論中涉及的許多概念。
表 1. RC 網(wǎng)絡(luò )（“R”值單位為°C/W；“C”值單位為 J/C；“tau”單位為秒）
注意：粗體元素代表網(wǎng)絡(luò )中與封裝最密切相關(guān)的部分；其余元素代表環(huán)境。按時(shí)間常數的升序列出的 Foster 梯級提供了一個(gè)粗略但不完美的等價(jià)模型，因為快速響應梯級必然會(huì )對曲線(xiàn)的短時(shí)間（因此封裝）部分產(chǎn)生最顯著(zhù)的貢獻。然而，正如前面所強調的，Foster 梯級內節點(diǎn)的確切位置沒(méi)有直接的物理意義，與 Cauer 電阻的任何表面相關(guān)性純屬巧合。
第一，這些網(wǎng)絡(luò )的最快時(shí)間常數是 2.98E-7 s（在 Foster Tau 列中精確給出）。此值的近似值是 Cauer 網(wǎng)絡(luò )中最靠近結的 RC 乘積，即 C_C1 乘以 R_R1，結果為 3.66E-7 s。第二，為方便起見(jiàn)，Foster 階梯的梯級按時(shí)間常數的升序列出，但很明顯，其 R 與 Cauer 網(wǎng)絡(luò )的“相應”梯級的 R 沒(méi)有很好的相關(guān)性。第三，從階梯的短時(shí)間末端開(kāi)始，兩個(gè)測試板的模型相同。也就是說(shuō)，對于單脈沖發(fā)熱響應，一開(kāi)始只有封裝重要，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，熱量才開(kāi)始從封裝傳入測試板，環(huán)境才會(huì )影響響應。
圖 11. 基本方波
使用 Foster RC 模型的周期波形
上面已經(jīng)討論了方波占空比曲線(xiàn)，它們通常由前面的簡(jiǎn)單公式 22 得出。然而，給定單脈沖瞬態(tài)曲線(xiàn)的 RC 模型（特別是幅度/時(shí)間常數 Foster 表達式），可以推導出無(wú)限列等方脈沖的精確閉合形式解。我們將簡(jiǎn)單給出其中的幾個(gè)解，并說(shuō)明如何應用它們（參見(jiàn) AND8219/D）。給定 n 級 RC 模型的單脈沖發(fā)熱曲線(xiàn)公式，如公式 23 所示，我們得到以下結果：
占空比 d、開(kāi)啟時(shí)間 a 的簡(jiǎn)單方波列的波峰 （公式24）
簡(jiǎn)單周期方波列的波谷 （公式25）
注意，波形的開(kāi)啟時(shí)間、周期和占空比通過(guò)等式 a = p·d 相聯(lián)系。當將開(kāi)啟時(shí)間繪制在 x 軸上，占空比用作曲線(xiàn)參數時(shí)，公式 24 產(chǎn)生之前在圖 5 中看到的占空比曲線(xiàn)族，其基于擬合原始 R(t) 單脈沖發(fā)熱曲線(xiàn)的 Foster RC 電阻模型。事實(shí)上，如果 RC 模型擬合良好，則從等式 24 導出的占空比曲線(xiàn)將比從更近似的公式 22 導出的曲線(xiàn)更精確（可能的例外是，如果占空比值非常小，并且開(kāi)啟時(shí)間小于最小 RC 時(shí)間常數，我們可能面臨與前面討論的時(shí)間平方根相關(guān)的相同限制）。
當重復單個(gè)脈沖時(shí)（圖 11），很明顯，波峰出現在“開(kāi)啟”時(shí)間的末端，波谷出現在“關(guān)閉”時(shí)間的末端（即每個(gè)“開(kāi)啟”時(shí)間的開(kāi)始處）。此外，當僅重復單個(gè)方脈沖時(shí)，如果只關(guān)心波峰和波谷，則脈沖在周期內的位置并不重要。事實(shí)上，為方便起見(jiàn)，前面的這些公式是在假設每個(gè)脈沖的“開(kāi)啟”時(shí)間從每個(gè)周期的開(kāi)端開(kāi)始的情況下推導出來(lái)的。
然而，如果我們對這個(gè)問(wèn)題稍作拓展，并允許單個(gè)方脈沖位于周期內的任意點(diǎn)，那么可以推導出一些更強大的公式。對于以下公式，圖 12 定義了周期長(cháng)度 p 內廣義方脈沖的參數。所有時(shí)間都是相對于一個(gè)周期的開(kāi)始。
圖 12. 廣義方波
經(jīng)過(guò)無(wú)限次相同周期后，以下三個(gè)公式描述了所示范圍對應的溫度響應形狀：
良好（可計算）僅適用于 0 ≤ t < b （公式26）
良好（可計算）僅適用于 b ≤ t < a （公式27）
注：如果 t = 0 且 b = 0，就得到公式 25
對 0 ≤ t ≤ p 良好（可計算）僅適用于 t > a （公式28）
注：如果 t = a 且 b = 0，就得到公式 24
對于這些公式，“可計算性”限制是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，當正自變量出現在各種分子的指數項中時(shí)就會(huì )出現。還要注意，這些公式描述了響應曲線(xiàn)，但尚未考慮所施加脈沖的功率水平。我們將關(guān)于脈沖功率的考慮推遲到下面的公式中，它現在表示了以相同頻率出現的任意數量方脈沖的完全一般化疊加，所有方脈沖都位于時(shí)間段 p 的相同周期內：
（公式29）
現在，假設我們將周期分解為一系列方邊脈沖——此過(guò)程已在前面的非周期波形示例中說(shuō)明，那么公式 29 允許我們預測任何復雜周期性功率的“穩態(tài)”瞬態(tài)行為?！胺€態(tài)”瞬態(tài)響應指的是在無(wú)限多次相同周期發(fā)生后，一個(gè)典型周期的溫度響應曲線(xiàn)的形狀?，F在必須強調一點(diǎn)：在不知道曲線(xiàn)細節的情況下，無(wú)限重復單脈沖的“峰值”和“谷值”溫度是可以預測的（即公式 24、25），但這對于一般的周期波形是不可能的，即使該波形是幾個(gè)方形子脈沖的相對簡(jiǎn)單的組合也不行?？紤]以下示例，將圖 13 的周期性功率輸入應用于表 4 給出的 RC 模型。
表 2. 3 脈沖示例的 RC 模型
圖 13. 3-脈沖周期性輸入
三個(gè)獨立方脈沖構成重復模式，將公式 26、27 和 28 應用于各脈沖的相應部分，并應用公式 29 來(lái)計算其疊加效應，我們得到以下溫度響應：
圖 14. 3-脈沖周期示例穩態(tài)瞬態(tài)響應
讓這個(gè)例子特別有意思的是，峰值溫度出現在第二脈沖的末端，該脈沖的功率較低，甚至在它與該周期中緊接在它之前的較高功率脈沖之間有一個(gè)零功率的小間隙。由于知道單脈沖響應與功率成正比，并且峰值溫度總是出現在方脈沖的末尾，人們可能很容易忽略這里展示的可能性。換句話(huà)說(shuō)，對于廣義周期波形，即使它僅由少量方形子分量構成，人們也能很好地計算整個(gè)周期范圍內的響應，而不僅僅是一些“明顯”點(diǎn)的響應。
表面發(fā)熱、時(shí)間平方根和短時(shí)瞬態(tài)響應
在大多數熱瞬態(tài)測試中，實(shí)驗數據最早可在 1E-5 s（10 微秒）時(shí)獲取。但在大多數情況下，由于電氣開(kāi)關(guān)瞬變，測試器件的數據獲取時(shí)間是不一致的，最晚可達 1E-3 s。即使測量一致性出現在更早時(shí)間，但在 1E-4 s 之前的時(shí)間，結果也很少可靠。事實(shí)上，與預期理論行為相對應的測量信號通常要到 3E-4 s 和 1E-3 s 之間才會(huì )出現。導致這種相關(guān)性的因素主要有兩個(gè)：器件中的電瞬態(tài)效應和芯片幾何效應。
更具體而言，芯片厚度和實(shí)際有效受熱面積會(huì )影響理論行為。對于短時(shí)熱瞬態(tài)行為，最簡(jiǎn)單的常用理論是表面發(fā)熱模型。它假設恒定功率、一維熱流，產(chǎn)生的結果是表面溫升與發(fā)熱時(shí)間的平方根成比例。
正因如此，它常被稱(chēng)為“sqrt(t)”發(fā)熱。sqrt(t) 發(fā)熱的一個(gè)重要方面是，在對數-對數圖上（參見(jiàn)圖 2），這種發(fā)熱“曲線(xiàn)”是一條直線(xiàn)，時(shí)間每增加 100 倍，溫度（或熱阻）上升 10 倍（sqrt(t) 正是由此而來(lái)）。因此，在對數-對數圖上，它顯示為 1:2 的斜率。這條理論直線(xiàn)的垂直位置由受熱面積、芯片的材料特性以及與芯片受熱表面鄰接的材料決定。同樣根據 sqrt(t) 理論，芯片越薄，熱量越快到達硅的背面，然后便不再遵循 sqrt(t) 模型；因此，一半厚度的芯片將在四分之一的時(shí)間內結束其 sqrt(t) 行為。通常，我們認為對于 15 mil（380 微米）厚的芯片，理論行為應該持續到大約 1E-3 s，但是當厚度小到 10 mil（250 微米）時(shí)，理論行為將僅持續 4E-4 s；對于 7 mil（180 微米）厚的芯片，sqrt(t) 只能持續 2E-4 s。芯片厚度還與瞬態(tài)行為的另一“極端特性”直接相關(guān)，即達到局部穩態(tài)需要多長(cháng)時(shí)間。在所有其他條件相同的情況下，15 mil 芯片達到局部穩態(tài)所需時(shí)間應該不超過(guò) 2.5E-3 s，7 mil 芯片所需時(shí)間應該不超過(guò) 5E-4 s。
另一方面，集總參數 RC 模型由于描述其行為的方程的指數性質(zhì)，在接近最短時(shí)間時(shí)總是變成與時(shí)間呈線(xiàn)性關(guān)系。因此，如果時(shí)間小于最短時(shí)間常數，RC 模型必定無(wú)法近似模擬 sqrt(t) 行為。正如前面所討論的，如果已知 sqrt(t) 行為是實(shí)際行為的合理近似，但 RC 時(shí)間常數不是以低于該范圍的值開(kāi)始，那么應將 sqrt(t) 模型直接用于短脈沖溫度估計，否則將導致溫度變化被嚴重低估。
下面的表格提供了對一維表面發(fā)熱估計有用的定義和公式，以及半導體封裝方面的一些典型材料特性值。
表 3. 一維表面發(fā)熱公式和定義
其中：
表 4. 短時(shí)熱響應的材料特性
免責聲明：本文為轉載文章，轉載此文目的在于傳遞更多信息，版權歸原作者所有。本文所用視頻、圖片、文字如涉及作品版權問(wèn)題，請聯(lián)系小編進(jìn)行處理。
推薦閱讀：
