頻率f的原始定義是每秒出現的次數，可用以衡量機械運動(dòng)、電信號、乃至任何事件重復出現的頻度，這當然不存在有“負”的概念。當用頻率描述圓周運動(dòng)時(shí)（即進(jìn)入了二維信號平面），產(chǎn)生了角頻率 ω”的概念，從機械旋轉運動(dòng)出發(fā)，定義為角速度，對于周期運動(dòng)，角速度也就是角頻率。通常 θ以反時(shí)針為正，因此轉動(dòng)的正頻率是反時(shí)針旋轉角速度，負頻率就是順時(shí)針旋轉角速度。正、負號是非常自然形成的，沒(méi)有物理意義的有無(wú)問(wèn)題。電的單位向量（電壓或電流）圍繞原點(diǎn)的轉動(dòng)，可以用表示，這是在電路中都清楚的。θ的正負所代表的物理意義從未有什么爭議，它的導數的物理意義不言自明，取正取負都不影響定義，為什么取負就會(huì )失去物理意義了呢？在信號與系統課程中，為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，便于初學(xué)者掌握概念，開(kāi)宗明義地把研究范圍限定于實(shí) 信 號 f(t) ， 也就是在電壓旋轉向量中，只研究它在實(shí)平面或虛平面上的一個(gè)投影 sin(ωt)或 cos(ωt)，研究復信號的特性與只研究實(shí)信號 

 

sin(ωt)或 cos(ωt) 是兩個(gè)不同的層次。前者是反映信號在空間的全面特性，如圖1 所示。后者只研究了信號在一個(gè)平面（x-t或y-t組成的平面）上投影的特性。這就必然要丟掉一些重要的信息，以致 x=sin(ωt) 與sin(-ωt)在x-t平面中的波形沒(méi)有任何差別，這是人們對負頻率的意義產(chǎn)生疑問(wèn)的直接原因之一。很顯然，在x-t或y-t的平面內，是不可能看出旋轉的。既看不到θ，更看不到ω。只有在x-y平面上才能看到這兩個(gè)旋轉參數。

 

 

 

同樣，用ejtω或 sin(ωt)或 cos(ωt)作為核來(lái)做傅立葉變換所得的結果也是前者全面，后者片面。對實(shí)信號做傅立葉變換時(shí)，如果用指數為核，將得到雙邊頻譜。以角頻率為?的余弦信號為例，它有具有位于±?兩處的、幅度各為 0.5、相角為零的頻率特性。它的幾何關(guān)系可以用圖2表示。兩個(gè)長(cháng)度為 0.5 的向量，分別以±?等速轉動(dòng)，它們的合成向量就是沿實(shí)軸方向的余弦向量。而沿虛軸方向的信號為零?？梢?jiàn)必須有負頻率的向量存在，才可能構成純 粹的實(shí)信 號 。 所以歐公式是有其明確的幾何意義（即物理意義）的。在文獻[1]中給出了動(dòng)畫(huà)，并給出了正、負數字頻率的幾何解釋。

 

 

 

正余弦信號中包括正負雙邊頻譜，不僅有物理意義，而且具有重要的工程價(jià)值。

 

1）二相異步電機的設計

 

根據這個(gè)概念，可以用兩路在空間正交的實(shí)信號來(lái)構成旋轉電磁場(chǎng)，設計電動(dòng)機。上面給出了單位余弦波在正負兩個(gè)頻率上有幅度相等，相角均為零的兩根譜線(xiàn)；同樣，單位正弦波在同樣正負兩個(gè)頻率上也有幅度相等的譜線(xiàn)，不過(guò)它們的相角分別為±π/2。用立體圖表示如圖 3(a)。

 

如果把正弦和余弦兩個(gè)信號的正頻率成分設計得相等相反，則把它們合成以后，就只剩下負頻率成分，它就構成一個(gè)單純負向旋轉的電信號。為此可以把正弦信號在空間上轉動(dòng)π/2，使它的正頻率譜線(xiàn)恰好與余弦信號的正頻率譜線(xiàn)反向，這樣兩個(gè)信號的合成（見(jiàn)圖3(b)）就成為一個(gè)只有負頻率譜線(xiàn)的信號，當然它在時(shí)域必然是復數信號。常用的二相異步電機就是這樣負向轉動(dòng)的。而要使該電機正轉，則要使兩者的負頻率成分互相抵消，只保留其正頻率成分。

 

 

2）通信領(lǐng)域中的 Hilbert 變換

 

實(shí)信號的雙邊頻譜是對稱(chēng)的。如果它的單邊頻帶寬 W，考慮到負頻率成分，實(shí)際占的頻譜區域就是±W，所以通信中要傳輸這樣的信號就需要占用 2W的頻帶寬度。為了節省頻帶，人們就發(fā)明了 Hilbert 變換，它可以把信號的正頻率頻譜移相-90°，把負頻率頻譜移相90°，然后再將這個(gè)信號移相90°與原信號相加，使兩者的負頻率成分互相抵消，正頻率成分加倍，構成一個(gè)沒(méi)有負頻率頻譜的復信號,（如同上面所說(shuō)的二相異步電機那樣）。這個(gè)復信號的帶寬就只占 W 了。用這個(gè)方法，使頻帶節約了一半。在這里，可以看到負頻率成分的重要性，在傳送信號時(shí)。

它是不可或缺的部分。另外，也看到負頻率成分與復信號的密切關(guān)系。 
 

3）產(chǎn)生任意的平面運動(dòng)軌跡 
 

文獻[5]曾提出根據傅立葉反變換原理產(chǎn)生平面運動(dòng)軌跡的方法。從上面歐拉公式的幾何意義不難得知，傅立葉反變換公式其實(shí)表示了多個(gè)頻譜旋轉向量的合成，這些向量的頻率規定了它信號的實(shí)部，在 y軸上的投影是信號的虛部。

 

不難設計出一個(gè)程序來(lái)演示這個(gè)過(guò)程，在[2,3]中編寫(xiě)了一個(gè)MATLAB 程序，程序名為 exn941。它把四個(gè)集總頻譜合成起來(lái)。假如給出這些頻譜分量如下：

 

a(1) = 1， ω(1) = 1； a(2) = 1， ω(2) = －1； a(3) = 0.5，ω(3) = 3；a(4) = 0.5，ω(4) = －4；

 

在此處，為了顯示復信號，有意把輸入頻譜設成不對稱(chēng)的，見(jiàn)圖5(d)。于是讀者將看到四節桿的運動(dòng)動(dòng)畫(huà)，并得到桿系及其末端在復平面上的軌跡（圖4），改變了比例尺后為圖 5 (a)。將它在x，y兩方向的投影與時(shí)間軸的關(guān)系畫(huà)在圖5(b)和(c)中，就得到信號與系統課程中常見(jiàn)的實(shí)信號曲線(xiàn)。

 

 

輸入頻譜的幅度可以是負數，也可以是虛數，甚至可以是復數，它不僅反映了頻譜的大小，還反映了該向量的起始相位；頻譜的頻率則只能是有正負號的實(shí)數，正頻率和負頻率以及在該頻率上頻譜的意義在此不言自明。讀者可以做各種各樣的試驗。例如當兩組頻率具有倍頻關(guān)系時(shí)，得到的是周期信號，如果頻率比是無(wú)理數，那將得出非周期的信號；另外，這樣的演示只適用于集總頻譜，對于分布的頻譜密度，就要把它想象為若干小的集總頻譜的疊合。

 

總之有了這樣的形象演示，可以大大擴展時(shí)域信號與頻域譜之間關(guān)系的思維空間。

 

4）多普勒頻率

 

多普勒頻率又是一個(gè)負頻率的實(shí)例，如果信號的發(fā)射源向我們運動(dòng)而來(lái)，那么多普勒頻率就是正頻率；如果信號的發(fā)射源向我們遠離而去，那么多普勒頻率就是負頻率，在這里正負頻率都是有明確物理意義的。多普勒頻率雖是一種差頻，它表現為合成信號的包絡(luò )頻率，因此仍然符合上述的原理，在實(shí)信號域只能求出多普勒頻率的大小，但檢測不出它的正負。要得到負頻率，必須從復信號域考慮?？梢?jiàn)，不懂得這一點(diǎn)，就無(wú)法找到多普勒測速的原理框圖。

 

5）機械工程領(lǐng)域的應用

 

關(guān)于二維信號的傅立葉變換，國內早已有學(xué)者將其應用于工程領(lǐng)域，參見(jiàn)文獻[4]、 [5]。這些都是說(shuō)明頻譜中負頻率物理意義的實(shí)際例證。

 

 

頻譜中負頻率成分的物理意義往往不為某些人們理解，其主要原因是他們忘記了實(shí)信號平面內研究問(wèn)題的局限性。因為在信號與系統課程中研究的信號通常只限于實(shí)信號。從實(shí)信號的x-t的波形圖上根本看不出頻率的轉向和正負，頻率只能表現為每秒信號重復的次數。分不清正負就以為是正頻率，只是一種習慣性的思維方法而已。

 

歸根到底，轉角和頻率的正負，必須在x-y平面或二維信號中才能觀(guān)察到。因為觀(guān)察的方法不對，看不到其意義，從而否認它的存在，這是認識論上的錯誤，不是科學(xué)的方法。這就和“瞎子摸象”的故事所說(shuō)的那樣，摸象腿的人否認象有鼻子，毛病出在他的驗證方法。他老想在象腿（實(shí)信號域）上找到象鼻子（負頻率），當然也永遠找不到。正確的方法是必須換一個(gè)角度，摸別的部位（復信號域），才能得到全面的知識。

 

某些學(xué)者不承認負頻率是由于把“頻率是每秒鐘循環(huán)的次數”的陳舊概念絕對化，其實(shí)頻率的概念是不斷發(fā)展充實(shí)的。每秒次數的概念只能粗糙地研究信號外部形態(tài)，無(wú)法涉及信號每周期內部的細微波形特征，而這恰好是傅立葉變換的任務(wù)。從它的核已經(jīng)可以清楚地看到，正是它摒棄（或發(fā)展）了原始的頻率定義，采用了角頻率的概念。單位是弧度/秒，而且具有明確的方向和正負號。其實(shí)頻率的概念還在繼續發(fā)展，進(jìn)入到數字信號處理時(shí)又進(jìn)一步出現了數字頻率，它的單位是弧度（去掉了分母上的“秒”），取值范圍是[-π，π]。它的物理意義已變?yōu)閮纱尾蓸訒r(shí)刻之間向量轉過(guò)的角度，在文獻[1]中對此有詳細的說(shuō)明。如果停留在“每秒次數”的舊概念上，那“數字信號處理”也就無(wú)法發(fā)展了。

 

 

這個(gè)問(wèn)題是從教學(xué)中提出的，作者在旁聽(tīng)“信號與系統”課程時(shí)，在老師的幻燈片上看到了 “關(guān)于雙邊譜，負頻率只有數學(xué)意義，沒(méi)有物理意義”的提法。我們覺(jué)得這是個(gè)錯誤，而且恐怕不是個(gè)別老師的想法?；貋?lái)一查，果然如此，很多相當權威的主流教材上都這么寫(xiě)。

 

其實(shí)，“×××只有數學(xué)意義，沒(méi)有物理意義”這樣的“命題”誰(shuí)也沒(méi)有證明過(guò)，也是無(wú)法證明的，它最多只能算是猜想。只要有一個(gè)反例就可被推翻，本文已經(jīng)舉出了多個(gè)反例，說(shuō)明它是完全錯誤的。教師絕不該把錯誤的猜想說(shuō)成真理，更不能寫(xiě)在書(shū)上和幻燈片上去誤導學(xué)生。數學(xué)是更抽象、更深刻地描述物理現象的工具，而物理是實(shí)證的科學(xué)。限于條件，人們往往暫時(shí)還認識不到數學(xué)定理的物理意義。數學(xué)超前物理是科學(xué)史上多次出現的現象，比如虛數、非歐氏幾何等。這時(shí)應該努力去理解它，認識它，而不是輕易地放棄它、否定它。自己沒(méi)想通，沒(méi)找到的事物，不能說(shuō)它不存在。給學(xué)生講課時(shí)，只能說(shuō)“我們目前還沒(méi)有想通×××的物理意義”。這才能表明教師在科學(xué)上的嚴肅和謙遜，也有助于培養學(xué)生的科學(xué)鉆研和創(chuàng )新精神。

 

 

討論這個(gè)問(wèn)題，不僅是理論上的探討，對于提高教學(xué)質(zhì)量是有重大意義的。今天，信息技術(shù)如此的發(fā)展，很大程度是由于深入大量地開(kāi)發(fā)頻譜資源的結果。在同學(xué)剛進(jìn)入這個(gè)資源庫的時(shí)候，我們要引導他們對這個(gè)寶藏發(fā)生極大的興趣，非常珍惜這個(gè)寶藏，去深鉆，去挖掘它的每一點(diǎn)潛力。不能為了省事，為了堵住學(xué)生的好奇提問(wèn)，輕率地、毫無(wú)根據地一句話(huà)就把頻譜的負頻率半邊扔掉了。在入門(mén)的時(shí)候，當然不可能把本文說(shuō)的概念統統灌輸給學(xué)生，要順序漸進(jìn)。但老師首先要有更寬廣的知識面和更科學(xué)的思維方法，教出的學(xué)生的才會(huì )具備更多的想象力和創(chuàng )造性。

 

作者：陳懷琛,方海燕 西安電子科技大學(xué)

 

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