【導讀】根據您在涉及圓柱形底座的其他物理領(lǐng)域的經(jīng)驗，您可能已經(jīng)正確猜測，當導線(xiàn)具有圓形橫截面時(shí)，方程 1 的答案應包括貝塞爾函數。對于我們總是試圖為不同現象開(kāi)發(fā)簡(jiǎn)單模型的工程師來(lái)說(shuō)，這不是一個(gè)好消息。貝塞爾函數可用于模擬各種物理問(wèn)題，從圓柱形物體的熱傳導到描述鼓皮等圓形薄膜的振動(dòng)。然而，它們可能很難可視化，并且顯然比簡(jiǎn)單的指數衰減正弦波要簡(jiǎn)單得多。
圓柱形導體中的電流分布
我們可以求解良導體的麥克斯韋方程組，找到電流密度 J 的以下微分方程：
$$ abla ^2 J = j omega mu sigma J$$
等式 1。
如果您對向量微積分概念感到生疏，那么可怕的符號 ? 2 （Del 平方）被稱(chēng)為拉普拉斯算子。簡(jiǎn)而言之，拉普拉斯算子是多維空間中二階導數概念的推廣。它由下式給出：
$$ abla ^2 = frac{partial^2 }{partial x^2} + frac{partial^2 }{partial y^2} + frac{partial^2 }{partial z^2}$$
等式2。
方程 1 描述了良導體中的電流分布。它對于導電半空間和具有圓形橫截面的導線(xiàn)均有效。然而，我們針對這兩類(lèi)媒體獲得的解決方案是完全不同的。對于導電半空間，電流密度是一個(gè)簡(jiǎn)單的指數衰減正弦函數（如果我們假設我們正在處理平面波）。但是圓柱形導體呢？
根據您在涉及圓柱形底座的其他物理領(lǐng)域的經(jīng)驗，您可能已經(jīng)正確猜測，當導線(xiàn)具有圓形橫截面時(shí)，方程 1 的答案應包括貝塞爾函數。對于我們總是試圖為不同現象開(kāi)發(fā)簡(jiǎn)單模型的工程師來(lái)說(shuō)，這不是一個(gè)好消息。貝塞爾函數可用于模擬各種物理問(wèn)題，從圓柱形物體的熱傳導到描述鼓皮等圓形薄膜的振動(dòng)。然而，它們可能很難可視化，并且顯然比簡(jiǎn)單的指數衰減正弦波要簡(jiǎn)單得多。
由于這些函數的復雜性，我們不會(huì )詳細分析分析的數學(xué)細節，而僅查看Simon Ramo 所著(zhù)的《通信電子學(xué)中的場(chǎng)和波》一書(shū)中提供的結果。圖 1 顯示了四種不同頻率下 1 毫米直徑圓線(xiàn)橫截面電流分布的歸一化幅度。
圖 1. 圓形導線(xiàn)中電流分布的歸一化幅度。圖片由S. Ramo提供
上圖中的參數r 0表示導線(xiàn)的半徑。在頻率 ( f ) 為 1 kHz 時(shí)，集膚深度約為導體半徑的 4.2 倍（或等效 r 0 /δ = 0.239）。正如您所看到的，在這種情況下電流分布幾乎是均勻的。
隨著(zhù)頻率增加，趨膚深度減小，并且比率r 0 /δ從1kHz處的0.239增加至1MHz處的7.55。請注意，即使對于r 0 /δ=2.39，導線(xiàn)中心處的電流密度也幾乎是導體表面處的電流密度的一半。這與集膚效應的簡(jiǎn)化描述不一致，集膚效應指出電流密度在δ深度處降低至其表面值的e -1 =0.37。
圖 2 將 r 0 /δ=2.39 和 r 0 /δ=7.55的實(shí)際電流分布與電流密度的指數衰減分布（對應于導電半空間中的波傳播）進(jìn)行了比較。正如您所看到的，只有當導體的曲率半徑遠大于趨膚深度時(shí)，半空間情況的結果才能用于近似圓線(xiàn)中的實(shí)際電流分布。
圖 2. 實(shí)際電流分布與平行平面公式的比較。圖片由S. Ramo提供
根據經(jīng)驗，如果導體的所有曲率半徑和厚度至少比趨膚深度大 3-4 倍，我們假設給定的導體類(lèi)似于半無(wú)限塊。到目前為止，在這個(gè)由兩部分組成的系列中，我們依靠求解麥克斯韋方程組來(lái)描述集膚效應的一些重要的特征。通過(guò)觀(guān)察法拉第感應定律如何在導體內部產(chǎn)生渦流，可以對這種效應有更深入（也許更有用）的了解。有了這種洞察力，我們就可以更好地理解不同互連的行為方式。
法拉第感應定律和渦流
根據法拉第定律，變化的磁場(chǎng)會(huì )在導線(xiàn)中感應出電動(dòng)勢（從而產(chǎn)生電流）。圖 3(a) 中簡(jiǎn)單而熟悉的實(shí)驗說(shuō)明了該定律的基本思想。通過(guò)將磁鐵靠近電線(xiàn)環(huán)，電線(xiàn)中會(huì )產(chǎn)生感應電動(dòng)勢，從而產(chǎn)生感應電流。
圖 3.改變磁場(chǎng)會(huì )在導體中感應出電流
感應電動(dòng)勢與通過(guò)電路的磁通量的時(shí)間變化率成正比。此外，感應電流往往與初產(chǎn)生感應電流的原始磁通量的變化相反（楞次定律）。
圖 3(b) 顯示了當磁鐵靠近線(xiàn)圈時(shí)產(chǎn)生的感應磁通量。感應磁場(chǎng)的方向是試圖保持原始磁通量不發(fā)生變化。
什么是渦流？
正如變化的磁場(chǎng)可以在環(huán)路中感應出電流一樣，當將大塊金屬置于變化的磁場(chǎng)中時(shí)，它也可以在大塊金屬中產(chǎn)生循環(huán)電流。這些循環(huán)電流稱(chēng)為渦流，如圖 4 所示。
圖 4. 在導電平面中產(chǎn)生渦流。圖片由Sciencefacts提供
再次注意感應電流的方向。假設線(xiàn)圈的磁場(chǎng)沿所描繪的方向增加，則感應出逆時(shí)針?lè )较虻碾娏饕援a(chǎn)生與線(xiàn)圈的原始磁場(chǎng)的變化相反的磁場(chǎng)。
載流導體內的渦流
當電流流過(guò)電線(xiàn)時(shí)，會(huì )在電線(xiàn)內部和外部產(chǎn)生磁場(chǎng)。對于交流電流，導線(xiàn)內部有一個(gè)隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)，根據法拉第定律，導線(xiàn)內部會(huì )產(chǎn)生渦流。如下圖 5 所示。
圖 5.交流電流在電線(xiàn)中感應出渦流。
可以看出，渦流在導體表面附近沿主電流方向流動(dòng)，但在導體內部沿相反方向流動(dòng)。因此，靠近導體表面流動(dòng)的總電流增加，而流過(guò)導體更深層的電流減少。
導體中的電流擁擠
應該注意的是，導體的某些表面可能比其他表面更有效地承載交流電流。為了理解這一點(diǎn)，請回想一下我們上面的討論，變化的磁場(chǎng)會(huì )導致集膚效應?，F在，如果導體的特定表面處的磁場(chǎng)更強，我們可以預期該表面將承載更大部分的電流。例如，考慮圖 6 中所示的微帶線(xiàn)的橫截面。
圖 6.參考平面上微帶線(xiàn)導體的橫截面。
圖 6 顯示了微帶線(xiàn)中電場(chǎng)和磁場(chǎng)的一般模式以及粗略的電流分布。請注意，這不是模擬結果。這只表明行為粗暴！
您是否注意到磁場(chǎng)更加集中在走線(xiàn)的底面和地平面之間？因此，微帶線(xiàn)的底面比其頂面承載更多的電流。例如，大約 60% 的電流可能集中在線(xiàn)路橫截面區域的深色陰影區域。由于相鄰載流導體的影響而導致電流聚集在特定表面的現象稱(chēng)為鄰近效應。
并行線(xiàn)路中的電流擁擠
當處理兩根平行的圓柱形線(xiàn)時(shí)，觀(guān)察到類(lèi)似的效果（圖 7）。在該圖中，兩個(gè)導體中的電流方向相反，因此導線(xiàn)之間的磁場(chǎng)強。結果，當前的人群聚集在彼此相對的表面上。
圖 7. 平行線(xiàn)的電流擁擠和鄰近效應。圖片由J. Davis提供
矩形導體中的電流擁擠
有趣的是，即使對于孤立的電線(xiàn)（沒(méi)有鄰近效應），導體的所有表面也可能不會(huì )承載相同量的電流。例如，細而寬的矩形導體的電流分布如圖 8 所示。如您所見(jiàn)，垂直表面的電流密度大于水平表面。這是因為這些表面具有更強的磁場(chǎng)。
圖 8. 細矩形導線(xiàn)中的電流分布。圖片由Thomas H. Lee提供
方形導體中的電流擁擠
從上面顯示的薄矩形導體的結果中，您也許能夠猜測方形導體的電流分布是什么樣的。圖 9 顯示了方形橫截面導體中的電流擁擠情況。四個(gè)角的電流密度。
圖 9. 方形導體的電流分布。圖片由艾倫·佩恩提供
不要忘記頻率對當前擁擠的影響
正如我們在本文開(kāi)頭附近討論的那樣，電流分布和趨膚深度是頻率的函數。當然，電流擁擠也取決于交流信號的頻率。直流信號不會(huì )出現電流擁擠，并且會(huì )隨著(zhù)頻率的增加而增加（直到某個(gè)點(diǎn)）。
由于電流擁擠，導體會(huì )遭受二次效應，需要在實(shí)際應用中考慮。導體的有效電阻可能比我們假設恒定電流分布時(shí)更高。電流擁擠還會(huì )導致導體中的熱量和應力增加。當您創(chuàng )建使用時(shí)變信號的新設計時(shí)，始終考慮渦流和電流擁擠對電路性能的潛在影響。
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