從數學(xué)原理上來(lái)說(shuō)，通用型有源濾波器可以用如下的系統框圖來(lái)表示。

圖1：典型的二階系統的信號流圖

上面是一個(gè)典型的二階系統的信號流圖，利用Mason 公式可以很容易的得到系統各個(gè)通路的傳遞函數：

上面三個(gè)式子分別對應高通、帶通和低通濾波器，如果將u、v、w三路信號加權疊加則可以組成任意的二階系統。

二階系統傳遞函數的分母多項式的標準形式為：

經(jīng)比較可知，大環(huán)路增益b決定二階系統的固有頻率，小環(huán)路的增益a決定系統的阻尼系數，也就是決定系統的品質(zhì)因數Q。

狀態(tài)變量濾波器

狀態(tài)變量濾波器也被稱(chēng)為KHN 濾波器，屬于通用型有源濾波器的一種實(shí)現形式，由Kerwin、Huelsman’Newcomb與1967年提出的。電路的基本形式如下。

圖2：反向輸入型KHN 濾波器

轉換為信號流圖后如下圖所示。
其中：

列寫(xiě)系統各個(gè)通路的傳遞函數如下：

將（3）帶入（4）后經(jīng)整理可得：

如果對電阻電容的值做一些限制，公式會(huì )變得更簡(jiǎn)單。設：

可以看出品質(zhì)因數Q只依賴(lài)于R1與R2的比值。而固有頻率只與RC的乘積有關(guān)。

正向輸入型的KHN濾波器如下圖所示：

圖3：正向輸入型的KHN濾波器

對應的信號流圖如下：

從信號流圖上看，僅僅是x(s) 到 u(s) 之間的增益從 -A1 變?yōu)?A1，其他的地方完全相同。但是由于R3從運放的負輸入端移動(dòng)到了正輸入端，所以A1和A3的值發(fā)生了很大的變化。

列寫(xiě)系統各個(gè)通路的傳遞函數如下：

由于A(yíng)2、A4和A5都沒(méi)有變化，所以系統的固有頻率沒(méi)有變：

如果還是做一些限制：

則可以簡(jiǎn)化為：

正向輸入型和反向輸入型最大的區別在于通頻帶的增益。下面給出低通濾波器時(shí)的幅頻特性曲線(xiàn)。兩邊的曲線(xiàn)一對比他們的區別就一目了然了。

Tow-Thomas  型二階濾波器

另一種類(lèi)似的電路形式稱(chēng)之為 Tow-Thomas 型濾波器。它的基本電路形式如下，其中R3=R6構成一個(gè)反向器。

圖5：Tow-Thomas 型濾波器

信號流圖與正向輸入型KHN濾波器完全相同。需要說(shuō)明的是u(s)是電流信號，表示的是流過(guò)C1的電流的大小。

但是A1到A5的表達式卻變得簡(jiǎn)單的多。

列寫(xiě)系統各個(gè)通路的傳遞函數也與正向輸入型KHN濾波器完全相同，這里重復如下：

由于u(s)是電流信號，無(wú)法直接引出使用，因此也就沒(méi)有列出來(lái)。將（16）帶入（17）后可得：

品質(zhì)因數和固有頻率計算如下：

則可以化簡(jiǎn)為：

原始信號減去帶通信號就稱(chēng)為帶阻信號了，因此再增加一個(gè)運放就可以實(shí)現帶阻型濾波器。

圖6：Tow-Thomas 帶阻型濾波器

這個(gè)電路的要點(diǎn)是R1=R2，這樣才能保證原始信號與帶通信號的幅度相同。也就是說(shuō)要求A1=A3。

簡(jiǎn)單的說(shuō)，這種辦法生成的帶阻濾波器其實(shí)就是在虛軸上對應位置添加了零點(diǎn)。

圖7：Tow-Thomas 帶阻型濾波器的零、極點(diǎn)分布

帶阻信號如果再與低通信號相加，就能夠組成低通帶阻型或高通帶阻型。下面是電路原理圖。

圖8：Tow-Thomas (高通/低通)帶阻型濾波器

單刀雙擲開(kāi)關(guān)打到3的位置時(shí)對應低通帶阻濾波器，打到2的位置時(shí)對應高通帶阻濾波器。原理可以這樣分析。首先，傳遞函數可以寫(xiě)為如下形式：

單刀雙擲開(kāi)關(guān)打到3的位置時(shí)α的值為正，打到2的位置時(shí)α的值為負。α 值的變化對應的是系統零點(diǎn)的移動(dòng)。α大于0 相當于零點(diǎn)互相遠離。

圖9：Tow-Thomas (高通/低通)帶阻型濾波器的零、極點(diǎn)分布

 (高通/低通)帶阻型濾波器的典型頻響如下面兩幅圖所示。

圖10：低通帶阻型濾波器的幅頻響應

圖11：高通帶阻型濾波器的幅頻響應