為什么要學(xué)習波特圖呢？

波特圖將傳輸函數和頻率響應定性的聯(lián)系起來(lái)了，通過(guò)波特圖的繪制，可以了解極點(diǎn)和零點(diǎn)是怎么影響頻率響應的幅度和相位，進(jìn)而影響電路的性能。

換成人話(huà)，可以這樣說(shuō)。

什么是波特圖？

波特圖也是根據人名命名的，它是出自貝爾實(shí)驗室，由荷蘭裔科學(xué)家 Hendrik Wade Bode在1930年發(fā)明的。Bode當時(shí)需要設計用于電話(huà)網(wǎng)絡(luò )的放大器，放大器帶有負反饋。為了能夠快速了解放大器保持絕對穩定所需的增益裕度和相位裕度，Bode開(kāi)發(fā)了波特圖。

假設一系統為線(xiàn)性時(shí)不變系統，傳輸函數為H(s)。則波特圖有兩副圖，幅頻圖和相頻圖，分別對應增益和相位。

幅頻圖是|H(s=jw)|隨頻率的函數，其橫軸為頻率，用對數尺度表示；縱軸為功率的dB值，即20log10|H|。

相頻圖是arg(H(s=jw))隨頻率的函數，其橫軸為頻率，用對數尺度表示；縱軸的單位一般為度，為線(xiàn)性值。

怎么畫(huà)波特圖？

畫(huà)幅頻圖時(shí)，遵循以下規則：

(1) 當頻率w經(jīng)過(guò)極點(diǎn)時(shí)，|H(jw)|的斜率變?yōu)?20dB/dec，也就是以頻率變化10倍，|H(jw)|變小20dB;

(2) 當頻率w經(jīng)過(guò)零點(diǎn)時(shí)，|H(jw)|的斜率變?yōu)?0dB/dec，也就是以頻率變化10倍，|H(jw)|變大20dB;

(3) 圖在起始點(diǎn)時(shí)的增益值，可以計算頻率的下限值對應的|H(jw)|；

如果零點(diǎn)沒(méi)有在原點(diǎn)處的時(shí)候，可以將w=0代入|H(jw)|,計算其在DC處的增益；

如果有零點(diǎn)處在原點(diǎn)處，則可以選擇一個(gè)靠近w=0的值，比如說(shuō)w=1作為|H(jw)|的初始值。零點(diǎn)在原點(diǎn)，即w=0時(shí)，|H(jw)|=0，因為縱軸是對數值，所以不可能在圖中包括|H(jw)|=0的值。

(4) 圖在起始點(diǎn)的斜率，取決于在w小于起始點(diǎn)處零點(diǎn)和極點(diǎn)的個(gè)數，然后按照(1)和(2)的規則計算；如果在w小于起始點(diǎn)處無(wú)零點(diǎn)和極點(diǎn)，則初始斜率為0。

畫(huà)相頻圖時(shí)，遵循以下規則:

(1) 假設極點(diǎn)為wp,即其則曲線(xiàn)在0.1wp處開(kāi)始變化，在wp處變化-45度，在10wp處變化接近于-90度。

(2) 假設零點(diǎn)為wz,則曲線(xiàn)在0.1wz處開(kāi)始變化，在wz處變化45度，在10wz處變化接近于90度。

看到電路，快速畫(huà)出波特圖，了解系統的穩定性

當K等于0時(shí)，沒(méi)有反饋，此時(shí)系統為開(kāi)環(huán)系統；

當K不等于0時(shí)，此時(shí)系統為閉環(huán)系統。

其中，KH(s)稱(chēng)為環(huán)路增益。

由上面等式可知，當KH(jw)=-1時(shí)，Y/X-->無(wú)窮大，即使X很小很小，也會(huì )導致很大的Y輸出，即系統處于振蕩狀態(tài)，不穩定。

所以為了保證系統穩定，需要在任何頻率處都不能滿(mǎn)足KH(jw)=-1的條件，即|KH(jw)|=1&arg(H(jw))=-180度。

那如果是|KH(jw)|>1&arg(H(jw))=180度呢？

因為每經(jīng)過(guò)一次環(huán)路，信號都會(huì )被進(jìn)一步放大，因為反相，所以疊加出來(lái)的信號會(huì )變得越來(lái)越大。

所以當

|KH(jw)|>=1

arg(KH(jw))=180度，

系統都處于一個(gè)不穩定的狀態(tài)。

用圖形示意，可能會(huì )比較直觀(guān)。

增益等于0dB對應的頻率，稱(chēng)為gain crossover frequency.

相位等于-180度對應的頻率，稱(chēng)為phase crossover frequency.

若系統穩定，則要求gain crossover frequency<phase crossover frequency.

舉兩個(gè)例子，解釋一下，如何從電路到波特圖，再分析系統的穩定性。

所以，如果電路只包含一個(gè)極點(diǎn)的話(huà)，那么這個(gè)系統肯定是穩定的。

可以看到，系統中相應部件對最后波特圖的影響，比如說(shuō)，原來(lái)系統處于不穩定的狀態(tài)，但是當降低K的值時(shí)，系統則會(huì )變穩定。

增益裕度和相位裕度

增益裕度和相位裕度都是衡量系統穩定程度的方法。

在相位圖上，找到相位達到-180度時(shí)對應的頻率，然后計算該頻率對應的幅度值。如果|KH(jw)|180>=1，則該系統不穩定；如果|KH(jw)|180<1,則系統穩定。

在波特增益圖上，找到|KH(jw)|=1的頻率，稱(chēng)為w0dB，然后找到該頻率下KH(jw)w0dB的相位。

如KH(jw)w0dB的相位大于-180度，則系統穩定。

KH(jw)w0dB的相位與-180度之間的差，稱(chēng)為相位裕度。

一般取相位裕度為60度左右，此時(shí)任務(wù)系統處于一比較好的穩定狀態(tài)。

不想自己手工畫(huà)波特圖，怎么辦？

計算機已如此普及，當然可以不用手工畫(huà)啦。matlab中有現成的函數。

還有什么可以用到波特圖呢？

當環(huán)路濾波器只有一個(gè)電容時(shí)，如下圖所示。

可以看到環(huán)路中只有兩個(gè)零極點(diǎn)，所以相位圖為接近-180度的一條直線(xiàn)，因此其總相位裕度基本為0，表面這個(gè)鎖相環(huán)是不穩定的。

解決問(wèn)題的一個(gè)辦法是給電容加入一個(gè)串聯(lián)電阻R，這樣就引入了一個(gè)零點(diǎn)，從而對環(huán)路進(jìn)行相位補償。

在實(shí)際的應用中，需要額外增加電阻電容低通濾波器，以濾掉一些高頻噪聲和電壓波動(dòng)。其中最簡(jiǎn)單的一種是在上述電容電阻兩端再加一個(gè)電容C1，通常C1遠小于積分電容C0，如下圖所示。

這就是我們常用的環(huán)路濾波器的結構。

參考文獻：

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