運算放大器從有限增益單極放大器近似為無(wú)限增益單極運算放大器，推導出跨阻放大器電路的增益，如圖1所示。
 

 

圖1：一個(gè)看似簡(jiǎn)單的電路只有兩個(gè)器件：運算放大器和反饋電阻。

 

從第一部分得知，推導增益即跨阻抗為：

 

 

 

極點(diǎn)是：

 

 

 

放大器增益使我們有機會(huì )將控制理論應用于電路。這個(gè)例子將說(shuō)明控制理論在理解電路動(dòng)態(tài)特性時(shí)的重要性和實(shí)用性。逐步實(shí)施，而不是一股腦全堆進(jìn)來(lái)，希望這樣能夠對控制技術(shù)及其應用方式有深入了解。

 

極點(diǎn)對（二次）多項式通常表示為：

 

 

 

放大器的諧振時(shí)間常數τn = 1/ωn = 1/(2 x π x fn)和阻尼ζ分別為：

 

 

 

當ζ<1時(shí)，極點(diǎn)變?yōu)閺蛿禈O點(diǎn)對，極角為：

 

 

 

對于實(shí)極點(diǎn)，ζ > 1且φ = 0。

 

對于恒定組（或包絡(luò )）時(shí)延（最大平坦包絡(luò )延遲/MFED或貝塞爾）響應，相位隨頻率線(xiàn)性減小，并且發(fā)生在φ = 30o的極角處。所有頻率的時(shí)延都是相同的，保持波形不變。然后：

 

 

 

對于跨阻放大器MFED響應：

 

對于臨界阻尼（沒(méi)有過(guò)沖的最快階躍響應），ζ = 1且τT = 4 x τi或fT = fi/4。兩個(gè)極點(diǎn)都是fi/2。

 

隨著(zhù)RR變大、fi減小，放大器在vix中顯示出更大的過(guò)沖。在某種程度上，這對于Z-meter是有利的，因為極角φ = 45°，阻尼ζ = cos(φ) = cos(45o) ≈ 0.707，并且頻率（或幅度）響應是恒定或平坦的，接近帶寬頻率。這就是最大平坦幅度（MFA）頻率響應。對于穩態(tài)（頻域）應用，MFA響應是最佳的。對于具有理想階躍響應的瞬態(tài)（時(shí)域）應用，MFED響應是最佳的。（在示波器垂直放大器的設計中，優(yōu)化兩種響應的標準是沖突的。）

 

 

慢運放具有低fT且τT >> τi，導致兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)離得比較遠。在極限值：

 

 

這是原點(diǎn)和fi處的極點(diǎn)。fT必須足夠小以保持fT << fi。然而，隨著(zhù)fT減小，環(huán)路增益減少，可能不足以維持容許的運算放大器增益誤差。在這種情況下，精度需要一定的速度。

 

隨著(zhù)運放fT的增加，Zm的阻尼減小，穩定性降低。對于給定的ς和fi：

 

 

 

若fT = 1MHz且G0 = 105，則fG = 10Hz，并且臨界阻尼回路(ζ = 1)的fi = 40Hz。假設Ci = 10pF,那么RR = 398MΩ，這樣對于任何較小的值都可以保持fi > 40Hz。

 

圖2顯示了閉環(huán)極點(diǎn)隨著(zhù)fT（更快的運放）的增加而移動(dòng)的情況。在原點(diǎn)和fi(–1/τi)處的分離極點(diǎn)在fi/2(此時(shí)π = 1)處聚集在一起，然后變?yōu)閺蛿禈O點(diǎn)對。隨著(zhù)fT增加，極角增加并且ζ減小。放大器變得不穩定，響應更加振蕩。

 

 

圖2：閉環(huán)極點(diǎn)隨著(zhù)fT的增加而移動(dòng)。

 

只要變化的參數（圖2中的fT或τT）同時(shí)出現在多項式的s2和s項中，圖中就會(huì )顯示極點(diǎn)移動(dòng)的位置或軌跡。放大器在無(wú)限fT時(shí)阻尼最小，當τT → 0s時(shí)極點(diǎn)位置在極限值：

 

 

 

在jxω軸上有兩個(gè)值，其響應是穩定的（而不是振蕩的）：原點(diǎn)和±jx ∞處。兩者都是無(wú)限的，(Zero(0)是無(wú)窮小的)。當τT → 0s時(shí)，極點(diǎn)多項式的s中的兩個(gè)項接近零，留下恒定的1項，并且不受頻率影響。在極限情況下，極點(diǎn)位于jxω軸上，ζ= 0（振蕩器的條件）,但在s的有限值處，它們的幅度為零。極點(diǎn)頻率很高，阻尼不再重要。它們與fi相距太遠而不會(huì )影響環(huán)路動(dòng)態(tài)。這是理想運算放大器的條件。因此，我們可以得出結論，對于非常慢或非?？斓倪\算放大器，極點(diǎn)是充分分離的，以使響應穩定。只有在fT的范圍內，這時(shí)運算放大器和Ci極點(diǎn)太靠近，阻尼在足夠低的極點(diǎn)頻率fn處過(guò)度降低，同時(shí)放大器中發(fā)生幅度相當大的振蕩。

 

再回到跨阻放大器，如果運算放大器幾乎是理想的，也就是說(shuō)，速度快到τT ≈ 0s，則極點(diǎn)多項式大約為1。對于足夠快的運算放大器，fT >> fi，而且極點(diǎn)分開(kāi)，就會(huì )有穩定的環(huán)路。為了提供額外的阻尼，使運算放大器fT（和環(huán)路增益）不會(huì )過(guò)低，電容器Cf需要通過(guò)RR分流。然后用包含Cf的電路代數計算：

 

 

 

極點(diǎn)對參數為：

 

 

 

Cf的作用是在二次系數中將τf加到τi，更重要的是加到線(xiàn)性項中的τT，這會(huì )增加阻尼。因為τi = τT，所以：

 

 

 

對于臨界阻尼，設π = 1;那么τT = (3 + 2 x √2) x τi ≈ 3.414 x τi且τn ≈ 1.848 x τi。如果沒(méi)有Cf（Cf = 0pF），如先前所計算的，τT = 4 x τi。若有Cf，在相同的動(dòng)態(tài)響應下，運算放大器可以更快，即具有更高的G0并實(shí)現更高的精度。

 

頻率響應幅度和相位是：

 

 

對于理想的快速運算放大器(τT = 0s)并且當Cf = Ci(τf = τi)時(shí)，在頻率fg(或ωg)處具有響應：

 

 

 

如果fi = 10 x fg，那么幅度誤差≈0.5％。因為fi = 10 x fg，相位誤差 ≈ 6o。相位誤差對頻率效應比對幅度誤差更敏感。這在阻抗計電路設計中很重要，有時(shí)在光電探測放大器中也很重要，因為光電探測波形要與一些其它波形同步。

 

 

對于一些帶跨阻放大器的Z-meter（ZM）設計，RR要足夠大，即10MΩ或更大。當RR變得非常大時(shí)，要得到期望的阻尼，分流Cf必須很小，并且電阻分流寄生電容還可能過(guò)大。為了避免這個(gè)問(wèn)題，可以使用以下電路代替。

 

圖3：使用該電路避免電阻分流寄生電容過(guò)大。

 

要讓運算放大器成為高增益單極運算放大器，G ≈ –1/s x τT（參見(jiàn)本系列文章第一部分有關(guān)G的推導）。反饋分頻器傳遞函數是：

 

 

 

且τf = RR x Cf。當電路用Rp = R1||R2求解時(shí)：

 

 

理想運算放大器(τT = 0s)的Zm降低到：

 

 

 

對于Rp = 0Ω，跨阻進(jìn)一步降低至：

 

 

如果在輸出與RR和Cf之間插入快速×1緩沖放大器，則R1和R2分壓器輸出電阻不需要太小(Rp << RR)。那么當Rp = 0Ω且運算放大器具有τT時(shí)：

 

 

 

該電路與沒(méi)有輸出分頻器的情況有兩個(gè)不同：RR和τT都有效地增加了1/Hdiv。

 

 

 

通過(guò)本文兩部分的闡述可以看出，即使是只有兩個(gè)器件的簡(jiǎn)單電路也可能涉及復雜的動(dòng)態(tài)推導。設計人員有時(shí)會(huì )避免使用這些推導來(lái)減少數學(xué)計算的麻煩，但是使用這些公式可以更好地了解給定電路在各種條件下的性能表現。我們介紹的跨阻放大器分析可為這樣的電路設計提供一個(gè)模板，并提供如何分析放大器動(dòng)態(tài)特性的指導性示例。

 

不要因為立方或更高次多項式而拒絕使用s域代數來(lái)解決電路動(dòng)態(tài)問(wèn)題。我們在本實(shí)例中遇到了一個(gè)立方項，但沒(méi)必要去解它，因為通過(guò)簡(jiǎn)化可將多項式降為二次方程，方便以后的分析計算。這種情況很常見(jiàn)，因為電路在設計階段常常被模塊化，它們要么彼此隔離，要么通過(guò)受控端口阻抗進(jìn)行受控交互。設計中可以應用模板方案，但通常限于s域中的二次方程。